From 06b62e42e031dfd419ad6483eee5e343b8490a55 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 10:49:47 +0100 Subject: [PATCH] mise a jour piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 51 ------------------------------------------- 1 file changed, 51 deletions(-) delete mode 100644 src/piece_truquee.tex diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex deleted file mode 100644 index b6058b4..0000000 --- a/src/piece_truquee.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -\section{Pièces truquées} - -A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. A lance $N$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants). Avant chaque lancer, B essaye de prédire le résultat. - -\q B gagne un point par bonne réponse. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est -\begin{enumerate} - \item Toujours face ? - \item Le résultat du lancer précédent (B fait un premier lancer préliminaire) - \item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ? -\end{enumerate} - -\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a et b de la question 1, quel est l'espérance de son gain si -\begin{enumerate} - \item Il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? - \item Il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1point pour la première, deux pour la deuxième...) ? -\end{enumerate} - -<<<<<<< HEAD -\q Maintenant $B$ veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connait pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in P$ où $P$ est une partie de $[0,1]$. Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $1,2,...,m-1$. la question 1 donne donc trois exembles de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain moyen minimal} pour $\mathcal{S}$ est $\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. -======= -\q Si le joueur B connaît p, quelle est la meilleure stratégie, en fonction de p ? Existe-t-il une stratégie indépendante de p qui soit meilleure que toutes les autres quel que soit p ? - -A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièce qui tombent sur pile avec proba p1 et p2 respectivement. - -\q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie. -\begin{enumerate} - \item Combien gagne-t-il en moyenne pour les stratégies de la question 1 ? - \item Quelle est la meilleure stratégie dans ce cadre ? (Celle qui maximise le gain moyen.) -\end{enumerate} - -\q Maintenant, le joueur B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. -\begin{enumerate} - \item Le joueur A annonce ce qu'il pense être la pièce choisie à la fin des N lancers et gagne 1 point si sa supposition est bonne. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ? - \item Le joueur A annonce la pièce choisie en cours de route et gagne N-k points s'il fait la bonne prédiction après le k-ieme tirage. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ? -\end{enumerate} - -\q Maintenant A commence par tirer la pièce 1 puis, à partir du K-ième lancer, tire la pièce 2, où K est choisi uniformément au hasard. B essaye de deviner K et gagne N - |K-K'| points, où K' est sa prédiction. -\begin{enumerate} - \item Il annonce sa prédiction à la fin des N lancers. Quelle est la meilleure stratégie ? Quelle est alors son gain moyen ? - \item Il fait sa prédiction après le lancer K'. Quel est la meilleure stratégie ? Quel est son gain moyen ? -\end{enumerate} ->>>>>>> f1e3b513ff64eccbeb656b43115022b5252c2e21 - -\begin{enumerate} - \item Si $P=[0,1]$, quel est le gain moyen minimal des stratégie a,b,c de la question 1 ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/2]$ ? Quel est-il ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1]$ ? Quel est-il ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/4]\cup [3/4,1]$ ? Quel est-il ? -\end{enumerate} - -\q A possède maintenant deux pièces qui tombent sur pile avec probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. \ No newline at end of file