modification probleme 8

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-\section{Création de jeu}
+\section{Création d'un jeu}
 
-U. N. Lock cherche à créer un jeu de société, en numérotant les cartes avec certaines contraintes.
+U. N. Lock cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un sybole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.
 
-Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 3$ cartes.
-La mécanique centrale du jeu sera que les joueurs chercheront à associer 2 cartes, et vérifieront dans le manuel si la paire est correcte ou non.
-On appelle "configuration" l'ensemble des paires qui doivent être validées par le manuel.
+Lock veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont correctes mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires correctes, il procède de la façon suivante : il écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec $2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante.
 
-Plutôt que de lister, dans le manuel, l'intégralité des paires valides, Lock a l'idée suivante : il va attribuer à chaque carte un numéro différent entre 1 et $N$, et noter dans le manuel une réponse "oui" ou "non" pour chaque nombre entier.
-Pour savoir si une paire est valide, les joueurs devront simplement additionner les numéros de ses deux cartes, et se référer à la réponse du manuel pour le numéro correspondant.
+Une configuration est \textbf{admissible} s'il est possible pour Lock d'effectuer la construction précédente, c'est-à-dire de numéroter les cartes et créer le manuel correspondant.
 
-Une configuration est dite "admissible" s'il est possible pour Lock d'effectuer la construction précédente.
+Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et les seules paires correctes sont $(A,D)$ et $(C,D)$. Lock peut faire la construction suivante : il attribue aux cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ les numéros $3$, $5$, $2$, $1$, $4$ respectivement et écrit, sur les $10$ pages de son manuel, \og{}autorisée \fg{} sur les pages $3$ et $4$ et \og{}interdite \fg{} sur toutes les autes pages.
 
-Exemple : $N=5$, et seulement deux paires sont correctes : $(A,B)$ et $(A,C)$.
-Cette configuration est admissible, car Lock peut effectuer la construction en attribuant le numéro 1 à $A$, 2 à $B$, 3 à $C$ et 4 et 5 aux deux cartes restantes, et en écrivant "oui" aux pages 3 et 4 du manuel et "non" partout ailleurs.
+\q Pour quels $N$ toutes les configurations sont-elles admissibles ?
 
-\q En fonction de $N$, toutes les configurations sont-elles admissibles ?
+\q En fonction de $N$, toutes les configurations sont-elles admissibles parmi celles où :
+\begin{enumerate}
+\item chaque carte appartient au moins à une paire autorisée ?
+\item chaque carte appartient au plus à une paire autorisée ?
+\item chaque carte appartient au plus à deux paire autorisée ?
+\end{enumerate}
 
-\q En fonction de $N$, toutes les configurations sont-elles admissibles parmi :
-\begin{itemize}
-\item[a)] celles où toute carte appartient à au moins une paire ?
-\item[b)] celles où toute carte appartient à au plus une paire ?
-\item[c)] celles où toute carte appartient à au plus deux paires ?
-\end{itemize}
+\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~PGCD.
 
-\q Reprendre les questions précédentes si, au lieu de combiner les cartes par leur somme, elles sont combinées par leur PGCD.
+\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~PPCM (le manuel a alors $N^2$ pages).
 
-\q Reprendre les questions précédentes si, au lieu de combiner les cartes par leur somme, elles sont combinées par leur PPCM.
+\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~produit (le manuel a alors $N^2$ pages).
 
-\q Reprendre les questions précédentes si, au lieu de combiner les cartes par leur somme, elles sont combinées par leur produit.
+\medskip
 
-\q Parce qu'il a vraiment envie de pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Lock s'autorise à numéroter les cartes non pas de 1 à $N$, mais par n'importe quels nombres (toujours sans répétition) compris entre 1 et $M$, pour un certain $M \ge N$. Une configuration est dite $M$-admissible si elle l'est avec ce relâchement de la contrainte.
+On revient dans le cas de la somme. Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Lock s'autorise à numéroter les cartes avec des nombre deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration est dite \textbf{$M$-admissible} si Lock peut construire une telle numérotation et un manuel associé.
 
-Pour les questions précédentes où toutes les configurations n'étaient pas admissibles, trouver (ou encadrer aussi précisément que possible) le $M$ minimal tel qu'elles soient toutes $M$-admissibles.
+\q Estimer, en fonction de la configuration, le $M$ minimal pour lequel la configuration est $M$-admissible. On pourra reprendre les cas des questions \textbf{1.} et \textbf{2.}.
+
+\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.