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@@ -4,7 +4,7 @@ Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, al
 Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Initialement, le bassin, de volume $V=2500\, m^3$, ne contient que de l'eau polluée. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on largue des bactéries dans le bassin.
 Les bactéries n'occupent pas forcément toute l'eau du bassin: il y a de l'eau avec bactéries et de l'eau sans bactéries, qui ne se mélangent pas. On note $v_0\in [0,V]$ le volume d'eau avec bactéries après le premier largage des bactéries. Pour $T\in\mathbb{N}$, on notera $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$. La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
 \begin{itemize}
-    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution: ainsi, l'eau polluée avec bactéries devient de l'eau propre avec bactéries.
+    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution. Ainsi, l'eau polluée avec bactéries devient de l'eau propre avec bactéries.
     \item Au coucher du soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
     \item Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin. La manière dont elles se déplacent varie selon les questions et sera précisée.
     \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Ainsi, l'eau propre avec bactéries devient de l'eau propre sans bactéries. Si la bactérie se retrouve dans de l'eau polluée, alors elle reste immobile (le volume d'eau polluée avec bactérie reste inchangé). 

src/oracle.tex

@@ -2,13 +2,11 @@
 
 Anaïs cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un symbole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.
 
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 Anaïs veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, elle procède de la façon suivante : elle écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec~$2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
 
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 Une configuration est \textbf{admissible} s'il est possible pour Anaïs d'effectuer la construction précédente, c'est-à-dire de numéroter les cartes et créer le manuel correspondant.
 
-Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et les seules paires autorisées sont $(A,D)$ et $(C,D)$. Cette configuration est admissible, car Lock peut faire la construction suivante : il attribue aux cartes A, B, C, D, E les numéros 3, 5, 2, 1, 4 respectivement, et écrit \og{}autorisée \fg{} sur les pages $3$ et $4$ de son manuel et \og{}interdite \fg{} sur toutes les autres pages.
+Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et les seules paires autorisées sont $(A,D)$ et $(C,D)$. Cette configuration est admissible, car Anaïs peut faire la construction suivante : il attribue aux cartes A, B, C, D, E les numéros 3, 5, 2, 1, 4 respectivement, et écrit \og{}autorisée \fg{} sur les pages $3$ et $4$ de son manuel et \og{}interdite \fg{} sur toutes les autres pages.
 
 \q Pour quels $N$ n'importe quelle configuration est-elle admissible ?
 
@@ -27,10 +25,8 @@ Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$,
 
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 Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Anaïs s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration pour laquelle Anaïs peut construire une telle numérotation et un manuel associé est dite dite~\textbf{$M$-admissible}.
 
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 \q Estimer, en fonction de $N$, le $M$ minimal pour lequel toute configuration est $M$-admissible. Donner des exemples de configurations pour lesquelles on peut calculer le $M$ minimal pour lequel elles sont $M$-admissibles. On s'intéressera aux différents modes de combinaison des cartes (somme, PGCD...).
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.