From 2d778812e92b0893b901e3c7046b6a2e6bb81c79 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 28 Dec 2023 15:16:52 +0100 Subject: [PATCH] changement des brioches en cookies --- src/brioches.tex | 113 ++++++++++++++++++++++------------------------- 1 file changed, 52 insertions(+), 61 deletions(-) diff --git a/src/brioches.tex b/src/brioches.tex index 946700e..f6ab6ad 100644 --- a/src/brioches.tex +++ b/src/brioches.tex @@ -1,82 +1,75 @@ -\section{Brioches gonflées} +\section{Drôles de cookies} -\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. -Il dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme il le souhaite de la pâte à brioche dans le plan suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). -En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à \'Eric de déposer de la pâte en quantité $R(P)$ plus ou moins importante. +Perrine a décidé de faire des cookies aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Elle dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme elle le souhaite de la pâte à cookie dans le plan suivant un nombre fini de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à Perrine de déposer de la pâte en quantité $R(P)\geq 0$ plus ou moins importante. -Lorsqu'elle est au four, la pâte gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric met de la pâte. -La pâte d'\'Eric ne se repousse pas elle même: -par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte gonflera en une brioche de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. -La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$. +Lorsqu'elle est au four, la pâte s'étale et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Perrine met de la pâte. La pâte de Perrine ne se repousse pas elle même. Par exemple si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte s'étalera en un cookie de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme du cookie après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$ où $P$ parcourt l'ensemble des points où Perrine a mis de la pâte. -On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de points du plan telle que la pâte d'\'Eric peut gonfler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé. +On appelle \textbf{cookie du plan}, ou plus simplement cookie, un ensemble de points du plan telle que la pâte de Perrine peut s'étaler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé. +La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le orange est obtenu en étalant un pâte de rayon constant égal à $1$ sur un segment de longueur $1$. La bleue est composée à partir d'un segment de pâte de rayon variable et d'un autre point de pâte. -\textcolor{red}{Brioche, ou cookie, ou autre ?} - - -\begin{figure}[ht] +\begin{figure}[!ht] \centering - \begin{tikzpicture}[scale=1] - \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle; - \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); - \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2); - - \draw (0,0) -- (2,0); + \begin{tikzpicture} + \begin{scope}[scale=1.5] + \fill[orangeAnimath] (0,1) arc (90:270:1) -- ++(1,0) arc (-90:90:1) -- cycle; + \draw [thick] (0,0) -- ++(1,0); + \draw[dashed, semitransparent] (0.3,0) node{\small $\times$} node[below]{$P_1$} + circle (1) -- ++(-0.8,0.6) node[midway,sloped,above]{\footnotesize $R(P_1)$}; + \end{scope} + + \begin{scope}[scale=1,shift={(6,0)}] + \fill[bleuAnimath] (105:1.5) arc (105:345:1.5) -- ++(75:{sqrt(3)/2}) arc (-15:105:1) -- cycle; + \fill[bleuAnimath] (2,0) circle (1); + \draw [thick] (0,0) -- ++(45:1); + \draw [ultra thick] (2cm-1pt,0) -- (2cm+1pt,0); + \foreach \i in {0.2,0.8} { + \draw[dashed,semitransparent] (45:\i) node{\small $+$} circle ({1.5-\i/2}); + } + \draw[dashed,semitransparent] (2,0) node{\small $\times$} circle (1); + \end{scope} \end{tikzpicture} - \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.} - \label{fig:pate_basique} + \caption{Deux exemples de cookies.} + \label{fig:pate} \end{figure} -\begin{figure}[ht] - \centering - \begin{tikzpicture}[scale=1] - \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle; - \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); - \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1); - - \draw (0,0) -- (2,0); - - \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5); - \draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2); - \draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2); - \end{tikzpicture} - \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.} - \label{fig:pate_complexe} -\end{figure} - -\'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes: +Perrine aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes: \begin{enumerate} \item un disque de rayon $R$; \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$; \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$; - \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$). + \item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$). \end{enumerate} -\textcolor{red}{Ajouter des figures pour les formes de brioches a), b), c), d).} +\begin{center} +\begin{tikzpicture} +\fill[orangeAnimath] (0,0) circle (1); +\draw (0,0) -- (1,0) node[midway,above]{$R$}; +\fill[bleuAnimath] (2,-0.5) -- ++(0,1) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,0) node[black,midway,above]{$b$} -- ++(0,-1) -- cycle; +\fill[orangeAnimath] (5,-1) -- ++(1,2) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,-2) node[black,midway,above right]{$b$} -- cycle node[black,midway,below]{$c$}; +\fill[bleuAnimath,even odd rule] (10,0) circle(0.8) circle(1.2); +\draw (10,0) -- ++(0:0.8) node[midway,below]{$R_1$}; +\draw (10,0) -- ++(30:1.2) node[midway,above]{$R_2$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} -\q La forme a) est-elle une brioche ? Même question pour chacune des formes b), c) et d). +\q La forme a) est-elle un cookie ? Même question pour chacune des formes b), c) et d). \medskip -La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire une brioche est la somme des longueurs des segments où \'Eric place de la pâte. +La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Perrine place de la pâte. -\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des brioches, pour quelles quantités de pâte \'Eric peut-il la réaliser ? +\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Perrine peut-elle la réaliser ? \medskip -La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geqslant 0$ fixé, on dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. -On appelle $r$-\textbf{brioche du plan}, ou plus simplement $r$-brioche, une brioche qu'\'Eric peut réaliser avec un outil de précision $r$. +La précision de l'outil de Perrine étant limitée, la quantité de pâte qu'elle dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Perrine est de précision $r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Perrine. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Perrine peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux question suivantes vont donc dépendre de $r$. -En particulier, les $0$-brioches sont exactement les brioches, et toute $r$-brioche est une brioche. +En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie. -\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-brioches, en fonction de $r$. +\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-cookie, en fonction de $r$. -\medskip - -Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duquel répondre. - -\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une $r$-brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme, et que cette dernière n'utilise aucun segment de longueur 0. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte), sans segment de longueur 0 ? +\q On suppose dans cette question que Perrine réalise un $r$-cookie sans faire de segment de longueur $0$ et tel qu'il est impossible d'obtenir la même forme en utilisant strictement moins de pâte. Est-il possible qu'une répartition différente de la même quantité de pâte permette d'obtenir le même $r$-cookie, toujous sans segment de longueur $0$ ? %\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ? @@ -91,26 +84,24 @@ Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duque \medskip -\'Eric s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-brioches. - -Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que : +Perrine s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-cookies. Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions continues telle que : \begin{itemize} \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$, \item pour toutes les autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$. \end{itemize} -\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\big(x(t),y(t)\big)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche. +Perrine trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\big(x(t),y(t)\big)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est un $r$-cookie. -\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas une $r$-brioche ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? +\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un $r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? -\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit une brioche, mais qui ne soit une $r$-brioche pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? +\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit une $r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? %Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? %\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ? -\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit une $r$-brioche. +\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit un $r$-cookie. %\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A. -\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, notamment en dimension $3$. \ No newline at end of file +\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, par exemple en dimension $3$. \ No newline at end of file