mise a jour piece truquee

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@@ -3,25 +3,23 @@
 A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$.
 
 Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
-\small
-\begin{itemize}
+\small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
 	\item A tire pile
 	\item B prédit face
 	\item A tire face
 	\item B prédit pile
 	\item A tire face
-\end{itemize}
-\normalsize
+\end{itemize} \normalsize
 Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
 
-\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est
+\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
 \begin{enumerate}
 	\item toujours pile ?
 	\item le résultat du lancer précédent ?
 	\item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ?
 \end{enumerate}
 
-\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a et b de la question 1, quel est l'espérance de son gain si
+\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
 \begin{enumerate}
 	\item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
 	\item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
@@ -47,7 +45,7 @@ A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistin
 B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Comme précédemment, A lance plusieurs fois la pièce la pièce mais, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
 
 Un exemple de partie, pour $n=3, m= 2$, est :
-\begin{itemize}
+\small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
 	\item A choisit la pièce 1
 	\item A tire pile
 	\item B demance un lancer supplémentaire
@@ -55,7 +53,7 @@ Un exemple de partie, pour $n=3, m= 2$, est :
 	\item B demance un lancer supplémentaire
 	\item A tire face
 	\item B déclare que la pièce 1 a été choisie
-\end{itemize}
+\end{itemize} \normalsize
 Dans ce cas, B a demandé 2 lancers supplémentaires, ce qui est bien inférieur ou égal à $n=3$, et sa déclaration était juste donc son score est $-1-1+2=0$.
 
 \q Quelle est la meilleure stratégie pour B (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?