From 3177fe9600adcd27120061a5a081d889b5d5385a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alexander_Thomas Date: Sat, 6 Jan 2024 11:59:32 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Mise=20=C3=A0=20jour=20de=20'fiches/matheux=5Fs?= =?UTF-8?q?ociables-fiche.tex'?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- fiches/matheux_sociables-fiche.tex | 8 +++++--- 1 file changed, 5 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/fiches/matheux_sociables-fiche.tex b/fiches/matheux_sociables-fiche.tex index 0d456a0..9596fa2 100644 --- a/fiches/matheux_sociables-fiche.tex +++ b/fiches/matheux_sociables-fiche.tex @@ -16,17 +16,19 @@ Si $p$ est impair, alors $r=4$ est possible et optimal. Montrons d'abord que $r=3$ n'est pas possible : nous raisonnons par l'absurde et on considère un plan idéal avec $r=3$. Les ensembles A, B, C et D sont définis de sorte que les deux premiers repas sont (A-B,C-D) et (A-D,B-C). Il manque alors A-C et B-D. Comme $r=3$, le dernier repas est $(A-C,B-D)$ ce qui implique que $p=\# A+\# B = \# A + \# C$, donc $p=2\# B$ est pair, contradiction. Un plan idéal pour $r=4$ est donné par (x-A-B,y-C-D), (x-A-C,y-B-D), (x-A-D,y-B-C) et (x-y-A-qc,qc) où x et y sont des participants, A, B, C, D sont des ensembles de $(p-1)/2$ participants et "qc" signifie un choix arbitraire. -\q (Difficile, ouvert en général ?) $t=p=q$, une puissance d'un nombre premier. Alors $r=q+1$ est possible et optimal (par question 1). +\q (Difficile, ouvert en général ?) Attention : cette solution utilise des notions inconnues aux élèves (espaces vectoriels, corps finis). +Si $t=p=q$ est une puissance d'un nombre premier, alors $r=q+1$ est possible et optimal (par question 1). On peut représenter les $q^2$ participants dans un carré, auquel on peut penser comme l'espace vectoriel (F_q)^2 (où $F_q$ désigne le corps fini à $q$ éléments). Il y a $q+1$ droites vectorielles, chacune définit une relation d'équivalence sur les points (on considère toutes les droites affines parallèles à la droite vectorielle donnée). Cela définit un plan idéal. Pour $p=q$ et $t=q^n$ avec $q$ une puissance d'un nomnbre premier et $n>0$ un entier, on peut répéter le même argument, donnant $r=(q^n-1)(q-1)$, ce qui est optimal. -Attention : les élèves ne connaissent ni les espaces vectoriels, ni les corps finis. Le cas général est probablement ouvert. \q (Ouvert ?) On peut traiter entièrement le cas $p=2$. Alors $r=n-1$ est possible et optimal. Pour $t$ pair, on regroupe les participants par deux pour se ramener à $t/2$. Pour $t$ impair, on considère les couplages parfaits du $n$-gone obtenus en "sautant" alternément $k$ et $n-k$ points avec $k$ pair. \q (Ouvert ?) -Il semble que les seuls plan idéaux 1-uniformes sont pour $p=q$ et $t=q^n$ comme dans la question 3b. +Condition nécessaire : $r=(n-1)/(p-1)$ est un entier, donc $p-1 \mid n-1$, ce qui est équivalent à $p-1 \mid t-1$. +La question 3b donne des exemples de plans idéaux 1-uniformes pour $p=q$ et $t=q^n$ avec $q$ une puissance d'un nombre premier. +Ce sont probablement les seuls exemples. \q (Moyen/Difficle) Non : pour tout $f$, on trouve des valeurs pour $t$ et $p$ tel que aucun plan idéal $f$-uniforme n'existe. En effet, pour $f$ fixé, on considère $t=f+1$. Alors $r\geq (n-1)/(p-1)\geq f+1> f$. Considérons les $f+1$ premiers repas d'un plan idéal. A chaque participant, on peut attribuer la suite des numéros des tables à laquelle il mange. Il y a $t^{f+1}$ suites possibles. Pour $n>t^{f+1}$ on aura forcément deux participants ayant assis à la même table au moins $f+1$ fois. Pour $p=t^f+1$, on a $n=pt=(t^f+1)t>t^{f+1}$.