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 \section{Dépollution de la Seine}
 Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués.
 
-Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in ]0,V[$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
+Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in [0,V]$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre mais occupent une partie de l'eau du bassin). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
 \begin{itemize}
     \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre.
     \item Au coucher du soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
@@ -71,7 +71,7 @@ Pour cette question, on suppose que l'eau est brassée, qu'il n'y a plus d'évap
 %\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? 
 %\end{enumerate}
 
-\q On revient pour finir dans le cas général exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. Décrire le comportement de la suite $v_T$ dans le contexte des questions \textbf{2.}, \textbf{3.}, \textbf{4.} selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$.
+\q On revient pour finir dans le cas général exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. Décrire le comportement de la suite $v_T$ dans le contexte des questions \textbf{2.}, \textbf{3.}, \textbf{4.} selon la valeur de $K$.
 
 %\begin{enumerate}
 %\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?

src/piece_truquee.tex

@@ -31,7 +31,11 @@ Une \textbf{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédic
 
 \q Si Félicie n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$, c'est-à-dire que $\mathcal{P}=[0,1]$. Quel est le gain minimal espéré pour les stratégies a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
 
+<<<<<<< HEAD
 \q Quelle(s) stratégie(s) $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ (et quel est-il) :
+=======
+\q Trouver une stratégie $\mathcal{S}$ qui donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ parmi toutes les stratégies possibles (et le calculer) si :
+>>>>>>> 1abffe98541386c1f43c1cdfa7d1d1b76918cada
 \begin{enumerate}
 	\item si $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{3}]$ ?
 	\item si $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
@@ -42,7 +46,7 @@ Une \textbf{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédic
 
 \`A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire~$n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités~$p_1$,~$p_2$ et $q$ (donc les choix de prédictions qu'elle fait peuvent dépendre de $p_1$, $p_2$ et $q$).
 
-\q Quelle est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle stratégie donne la plus grande espérance du gain et que vaut-elle ?
+\q Quelle est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Parmi toutes les stratégies possibles, en trouver une pour laquelle l'espérance du gain est la plus grande possible, et la calculer.
 
 \medskip
 
@@ -60,4 +64,4 @@ Désormais, Félix possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours
 	\item Après chaque lancer, Félicie peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. Si elle a raison, elle gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si elle fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et elle ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et elle gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle(s) stratégie(s) lui permet(tent) de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
 \end{enumerate}
 
-\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. On pourra par exemple étudier des cas avec plus de pièces, remplacer les pièces par des dés...
+\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.