modification des problèmes 5,6

src/matheux_sociables.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Matheux sociables}
+\section{Rassemblements mathématiques}
 
 Lors d'une olympiade mathématiques, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent.
 L'organisateur souhaite que les participants se rencontrent au maximum au moment des repas. Il veut dont élaborer un plan de placement des participants du plusieurs jours se sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.

src/piece_truquee.tex

@@ -16,7 +16,7 @@ Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième pr
 \begin{enumerate}
 	\item toujours pile ?
 	\item le résultat du lancer précédent ?
-	\item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ?
+	\item pile si le nombre de piles déjà tirés est pair, face sinon ?
 \end{enumerate}
 
 %\q Le gain de Félicie si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
@@ -27,9 +27,9 @@ Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième pr
 
 Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$.
 
-Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est minimal.
+Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
 
-\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (c'est-à-dire qu'on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
+\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (c'est-à-dire qu'elle n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
 
 \q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ et quel est-il si :
 \begin{enumerate}
@@ -38,7 +38,7 @@ Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédicti
 	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
 \end{enumerate}
 
-A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$ et $q$.
+A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$ et $q$ (donc les choix de prédictions qu'elle fait peuvent dépendre de $p_1$, $p_2$ et $q$).
 
 \q Quelle est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle stratégie donne la plus grande espérance du gain et que vaut-elle ?
 
@@ -46,7 +46,7 @@ A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguabl
 
 Félicie n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Félicie peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Félicie gagne $m$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
 
-\q Quelle stratégie maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
+\q Quelle stratégie maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (c'est-à-dire qu'on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
 
 \medskip
 

src/ping_pong.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Ping--pong}
+\section{Tournoi de ping--pong}
 
 Soit $n \geq 2$ un entier, fixé dans tout le problème. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours. Les joueuses jouent sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appelle \emph{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de sorte qu'il y a exactement $2$ joueuses à chaque table.
 

src/rebonds_etranges.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Électron libre}
 
-Le petit Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace alors à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1.
+Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace alors à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1.
 
 Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron.
 
@@ -23,13 +23,13 @@ La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électro
 	\label{fig:traj_elec}
 \end{figure}
 
-\q Le canon à électrons est situé en un point $A$ du plan. Nicolas peut choisir sa direction initiale. Il faut amener l'électron tiré jusqu'en un point $B$.
+\q Le canon à électrons est situé en un point $A$ du plan. Nicolas peut choisir sa direction initiale. Il veut amener l'électron tiré jusqu'en un  autre point $B$.
 \begin{enumerate}
-\item Nicolas peut-il toujours guider l'électron du point $A$ au point $B$ ? Si oui, combien se fois au minimum doit-il appuyer sur le bouton, en fonction de la distance qui sépare $A$ et $B$ ?
+\item Nicolas peut-il toujours guider l'électron du point $A$ au point $B$ ? Si oui, combien de fois au minimum doit-il appuyer sur le bouton, en fonction de la distance qui sépare $A$ et $B$ ?
 \item Quelle est la distance minimale parcourue par l'électron pour aller de $A$ à $B$ ?
 \end{enumerate}
 
-Nicolas dessine un cercle de rayon $r$ et place le canon à électons sur le bord du cercle , pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle.
+Nicolas dessine un cercle de rayon $r$ et place le canon à électons sur le bord du cercle, pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle.
 
 La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cercle de rayon $r=2$. Il ne touche jamais le cercle gris et, après deux demi-tours, tourne sur lui-même indéfiniment sans jamais toucher le cercle gris.
 
@@ -48,15 +48,15 @@ La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cerc
 	\label{fig:traj_cerc}
 \end{figure}
 
-\q Combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction du rayon du cercle (ce nombre est potentiellement infini) ?
+\q Combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction du rayon du cercle (ce nombre étant potentiellement infini) ?
 
 \q Nicolas dispose $n$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. L'électron peut rentrer et sortir du disque, celui-ci n'a aucune influence sur sa trajectoire. Estimez le plus petit entier $N$ tel que quelle que soit la position des $n$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $n$ points en appuyant au plus $N$ fois sur le bouton. Que se passe-t-il avec un disque de rayon $R>0$ quelconque ?
 
-\q Nicolas dispose, dans cette question seulement, de $k$ canons à électons disposés de manière quelconque sur le plan, et de $k$ boutons permettant de contrôler chaque électron indépendamment. Peut-il toujours faire en sorte que les $k$ électrons se trouvent au même endroit au même moment ?
+\q Nicolas dispose, dans cette question seulement, de $k$ canons à électons disposés de manière quelconque sur le plan, et de $k$ boutons permettant de contrôler chaque électron indépendamment. Peut-il toujours faire en sorte que, après un certain temps, les $k$ électrons se trouvent au même endroit au même moment ?
 
 \medskip
 
-Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un bouton pour faire faire demi-tour à l'électrons mais de miroirs sur lesquels l'électron rebondit, conformément aux lois de la physique classique : les angles d'incidence et de réflexion sont les mêmes.
+Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un bouton pour faire faire demi-tour à l'électron mais de miroirs sur lesquels l'électron rebondit, conformément aux lois de la physique classique : les angles d'incidence et de réflexion sont les mêmes.
 
 \begin{center}
 	\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
@@ -70,7 +70,7 @@ Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un bouton pour faire faire demi-tour à l'
 	\end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Il les dispose de sorte à former un polygone convexe (ie. dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$). On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone.
+Il les dispose de sorte à former un polygone convexe (c'est-à-dire dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$). On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone.
 
 Un polygone convexe est dit \emph{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du ploygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, en numérotant les côtés du ploygone $1$, ..., $M$ dans n'importe quel ordre, il est possible de placer le canon à électrons de sorte que l'électron rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ puis... puis $M$.
 
@@ -96,7 +96,7 @@ La figure \ref{fig:traj_tri} représente un quatrilatère (en orange) dont on a
 	\label{fig:traj_tri}
 \end{figure}
 
-\q Pour quels $M$ le polygone régulier à $M$ côtés inscrit dans un cercle est-il admirable ?
+\q Pour quels $M$ le polygone régulier à $M$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $1$ est-il admirable ?
 
 \q Pour quels $M\geq 3$ Nicolas peut-il construire une polygone admirable à $M$ côtés ?