Maj après réunion 20/12

Restent figure et débat cookie/brioche/...

src/brioches.tex

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 \section{Brioches gonflées}
 
-\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Il dispose d'un outil qui permet de déposer de la pâte à brioche suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur $0$). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentrée et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout.
-La brioche d'\'Eric ne se repousse pas elle même :
-par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la brioche aura pour forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement.
+\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm.
+Il dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme il le souhaite de la pâte à brioche dans le plan suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$).
+En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à \'Eric de déposer de la pâte en quantité $R(P)$ plus ou moins importante.
+
+Lorsqu'elle est au four, la pâte gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric met de la pâte.
+La pâte d'\'Eric ne se repousse pas elle même:
+par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte gonflera en une brioche de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement.
 La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$.
 
+On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de points du plan telle que la pâte d'\'Eric peut gonfler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé.
 
-\textcolor{red}{Préciser que c'est Eric qui choisit la quantité de brioche.}
+
+\textcolor{red}{Brioche, ou cookie, ou autre ?}
 
 
 \begin{figure}[ht]
@@ -39,52 +45,55 @@ La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centr
     \label{fig:pate_complexe}
 \end{figure}
 
-
-\q Avec ce procédé, \'Eric peut-il faire une brioche qui a la forme:
+\'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes:
 \begin{enumerate}
-    \item d'un disque ?
-    \item d'un rectangle quelconque ?
-    \item d'un triangle quelconque ?
-    \item d'un anneau (un grand disque centré en un point $A$ dont on a retiré un petit disque centré en ce même point $A$).
+    \item un disque de rayon $R$;
+    \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
+    \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
+    \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$).
 \end{enumerate}
 
-\q Reprendre la question \textbf{1.} si on suppose que $R(P)=r$ ne dépend pas de $P$.
-Plus généralement, donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir.
+\textcolor{red}{faire des figures pour les brioches.}
+
+\q La forme a) est-elle une brioche ? Même question pour chacune des formes b), c) et d).
 
 \medskip
 
-Désormais, \'Eric souhaite économiser la pâte et en utiliser le moins possible. La quantité de pâte est la somme des longueurs des segments où il a placé de la pâte.
-% \'Eric étant très intelligent il utilisera toujours le moins de pâte possible.
+La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire une brioche est la somme des longueurs des segments où \'Eric place de la pâte.
 
-\q Pour quelles quantités de pâte peut-il réaliser chacune des formes suivantes :
-\begin{enumerate}
-    \item un disque de rayon $R$ ?
-    \item un rectangle de côtés de longueurs $a$ et $b$ ?
-    \item un triangle de côtés $a$, $b$ et $c$ ?
-    \item un anneau de rayon intérieur $r$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>r$) ?
-\end{enumerate}
-On s'intéressera plus à comment la pâte est disposée qu'à la valeur précise de la longueur totale [A FORMULER BIEN]
+\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des brioches, pour quelles quantités de pâte \'Eric peut-il la réaliser ?
 
-\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une forme de brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte) ?
+\medskip
 
-%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ?
+La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. On dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r \geqslant 0$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. 
+On appelle $r$-\textbf{brioche du plan}, ou plus simplement $r$-brioche, une brioche qu'\'Eric peut réaliser avec un outil de précision $r$.
 
-%\q Eric souhaite faire des brioches d'un seul tenant (il est toujours possible de faire un chemin de segments consécutifs dans la brioche qu'il obtient) [i.e. connexes par arcs + connexe ]. Parmi les points où Eric a placé de la pâte, est-il toujours possible de trouver un chemin de segments de pâte reliant deux points $P$ et $P'$.
+En particulier, les $0$-brioches sont exactement les brioches, et toute $r$-brioche est une brioche.
 
-%\q En fait, Eric se rend compte qu'il regardait ses brioches gonfler par au-dessus mais qu'elle gonfle en fait dans l'espace et non pas dans le plan. La brioche occupe alors la réunion des boules de centre P et de rayon $R(P)$ (où les points $P$ où Eric place de la brioche sont toujours dans le plan). Quel est alors le volume que prend la brioche si la forme vue au-dessus est :
-%\begin{enumerate}
-%    \item un disque de rayon $R$ ?
-%    \item un carré de côté $C$ ?
-%    \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ?
-%\end{enumerate}
+\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-brioches, en fonction de $r$.
 
-\q Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?
+\medskip
 
-\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ?
+Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duquel répondre.
 
-\q Dans le cas où le rayon est constant=r donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir.
+\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une $r$-brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme, et que cette dernière n'utilise aucun segment de longueur 0. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte), sans segment de longueur 0 ?
 
+\medskip
 
-%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A.
+\'Eric s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-brioches.
 
-\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.
+Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que :
+\begin{itemize}
+    \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
+    \item pour toute autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
+\end{itemize}
+
+\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $(x(t),y(t))$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche.
+
+\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas une $r$-brioche ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
+
+\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit une brioche, mais qui ne soit une $r$-brioche pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
+
+\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit une $r$-brioche.
+
+\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, notamment en dimension $3$.