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 \section*{Eléments de réponse} 
 
-\q Notons plutôt $w(T) = v(T)/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K w(T)$ et $u(T)$ la proportion d'eau dépolluée. On a $u(0) = 0$ et $u(T) = \sum_{n=0}^{T-1} w(n)$. On a $K w(T) - u(T) \leqslant w(T+1) \leqslant K w(T)$.
+\q (très facile) Ca revient à étudier un polynôme de degré $2$. Réponse: $K \in [0,4]$.
 
-a) (facile) Le cas d'égalité est réalisé pour la borne supérieure si les bactéries filles naissent chaque fois dans l'eau polluée.
+Pour la suite, notons plutôt $x_T = v_T/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K x_T$ et $u_T = \sum_{\ell = 0}^{T-1} x_\ell$ la proportion d'eau dépolluée. On a $K x_T - u_T \leqslant x_{T+1} \leqslant K x_T$.
 
-Si $K=1$, ça donne $w(T) \leqslant w(0)$ et $u(T) \leqslant T w(0)$.
+\q (facile) Si $K=1$, ça donne $x_T = x_0$ et $u_T = T x_0$ (jusqu'à $u_T=1$ auquel cas $x_T=0$).
-Si $K \neq 1$, alors $w(T) \leqslant K^T w(0)$ et $u(T) \leqslant w(0) \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si
+
-\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\]
+Si $K \neq 1$, alors $x_T = K^T x_0$ et $u_T = x_0 \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si
+\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v_0 > (1-K) V\]
 Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est
 \[
 \left\{
 \begin{array}{ll}
-\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\
+\left\lceil \frac{V}{v_0}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\
-\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\
+\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v_0}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\
 \end{array}\right.
 \]
 
-b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau
+\q (facile) On peut noter que $x_{T+2} = \min(1, \max(0, K(x_{T+1} - x_{T}))$. Il suffit de s'intéresser à $x_{T+2} = K( x_{T+1} - x_T)$.
 
-(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$).
+(facile) On a deux valeurs propres complexes conjuguées pour $K \in ]0,4[$ qui sont $\frac{K \pm i \sqrt{K(4-K)}}{2}$, une valeur propre réelle double qui vaut $2$ (resp. $0$) pour $K = 4$ (resp. $K=0$) et deux valeurs propres réelles qui sont $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$.
 
-(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$.
+a) (facile) Si la suite décroît au rang $T$, alors elle est nulle à partir du rang $T+1$. La suite $v_T$ est croissante jusqu'à un certain rang, puis décroît exactement une ou deux fois puis constante également à zéro. Comme c'est le terme général d'une série majorée de termes positif, la suite $v_T$ converge vers $0$.
 
-(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra.
+b) (très facile) Pour $K \leqslant 1$, la condition de dépollution est $v_0 = V$ Pour $K \leqslant 2$, on a $v_2 = 0$. Condition de dépollution: $u_2 = v_0 + v_1 = K v_0 \geqslant V$.
+[à vérifier, sinon ,c'est peut-être $K v_0 > V$ et $K(K-1) v_0 > V$ les bonnes conditions, j'ai un doute]
 
-(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer.
+c) (moyen) \'Etude classique d'une suite à récurrence linéaire avec valeur propre double.
 
-(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ?
+d) (moyen) $K > 4$: on peut se ramener au cas $K=4$ par minoration.
 
-Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$.
+(difficile/ouvert) 
 
-\q (moyen-difficile)
+e) Notons $T_A$ une borne pour le temps d'arrêt.
+
+(très facile) $T_A = 1$ si $K \leqslant 1$; $T_A = 2$ si $K \leqslant 2$; 
+
+(moyen/difficile) On peut montrer mieux: pour $0 < K < 4$, le temps d'arrêt $T_A$ qui dépend de $K$ pour lequel $v_T$ est nul indépendamment de la valeur de $v_0$. En revanche, pour $K \geq v_0$, le temps d'annulation de $v_T$ existe mais dépend à la fois de $K$ et de $v_0$ (on ne peut plus donner de borne en $K$ uniquement).
+
+(ouvert) formule exacte pour le temps d'arrêt $T_A$ (y compris pour $2 < K < 4)$
+
+\q (ouvert) Il y a des choses qui sont faisables. Le problème est non linéaire.
+
+\q (ouvert) Génériquement $u_T$ admet une limite sauf dans les cas périodiques si on a ajusté très précisément les valeurs de $K$, $w$ et $v_0$, je dois y réfléchir.
+
+\q (ouvert) Généralisation possible à des phénomènes probabilistes
+
+\q (ouvert) $K<1$: extinction;  $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations.
 
 \q
-\begin{enumerate}
-\item $K\in[0,4]$
-\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale}
-\item $K<1$: extinction;  $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations.
-\end{enumerate}
-
-\q (moyen)
-
-\q (difficile)
-
-\q (ouvert) b) un peu ambiguë?