diff --git a/fiches/ping_pong-fiche.tex b/fiches/ping_pong-fiche.tex index df50ad4..49ac42e 100644 --- a/fiches/ping_pong-fiche.tex +++ b/fiches/ping_pong-fiche.tex @@ -1,5 +1,15 @@ \section*{Eléments de réponse} -\q (Facile) Première réponse +\q Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon. -\q (Moyen) Deuxieme réponse +\q Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable. + +\q Oui : montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser. Pour le nombre de tours, l'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident. + +\q En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité). + +\q ?? + +\q Exemples : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$. Je pense que tous les mots de longueur $n$ sont inscriptibles, mais ça a l'air dur (j'y arrive pour $n/2$). + +\q À peu près $1/6$ : il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$. diff --git a/index.tex b/index.tex index 9decd7b..4a46bd3 100644 --- a/index.tex +++ b/index.tex @@ -109,8 +109,10 @@ Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de qu \section*{Notations} \begin{tabular}{ll} $\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$ & ensemble contenant les éléments $a_1, a_2, \dots, a_n$ \\ +$\mathbb{N}$ & ensemble des entiers positifs \\ $[x,y]$ & ensemble des nombres réels compris entre $x$ et $y$ inclus \\ -$\min_{x\in X} f(x)$ & plus petite valeur prise par $f(x)$ quand $x$ parcourt l'ensemble $X$ +$\min_{x\in X} f(x)$ & plus petite valeur prise par $f(x)$ quand $x$ parcourt l'ensemble $X$\\ +$\lceil x\rceil$ & plus petit entier supérieur ou égal au réel $x$ \end{tabular} \restoregeometry diff --git a/src/depollution_seine.tex b/src/depollution_seine.tex index c10018d..efc9f8e 100644 --- a/src/depollution_seine.tex +++ b/src/depollution_seine.tex @@ -1,82 +1,67 @@ \section{Dépollution de la Seine} -Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau -Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v(0)\in ]0,V[$. Le jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), on note $v(T)$ le volume occupé par les bactéries. La population de bactéries se comporte de la manière suivante: +Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués. + +Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in ]0,V[$. On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante: \begin{itemize} - %\item Le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), les bactéries occupent un volume $v(T)\in[0,V]$; \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre; - \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction). Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin; + \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas. Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin; \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le jour $T+1$. \end{itemize} -Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On pose: $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. +Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. -\q Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0 0$ (car on considère que le terme en $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable). +Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (autrement dit, on considère que le terme $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable). -\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau polluée, puis dans de l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas-là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ? +\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ? -\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau propre, puis dans de l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire). +\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau propre, puis dans l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire). \begin{enumerate} -\item Étudier l'évolution de la suite $v(T)$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle? -\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? -\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? +\item Étudier l'évolution de la suite $v_T$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle? +\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? +\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? \item Étudier les cas $K>4$ et $2K_2>0$. Il pleut exactement un jour sur deux: s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué ? - - -\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il pleut exactement un jour sur deux: s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ? %\begin{enumerate} %\item Dans un premier temps, %\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? %\end{enumerate} +\q On retourne au cas exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v_T$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $01$. -Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade. On note par $r$ le nombre de repas. -Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$. +Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p > 1$ places. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade et prennent $r$ repas ensemble. \begin{figure}[!ht] \centering @@ -31,45 +27,36 @@ Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$. \draw (7,0) node {B}; \draw (9,0) node {C}; \end{tikzpicture} -\caption{Exemple de planning de placement pour $t=p=2$ avec quatre participants A, B, C et D} +\caption{Exemple de plan de placement pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D} \end{figure} -\q -\begin{enumerate} - \item Analyser le cas où $r < [(n-1)/(p-1)]$. - \item Peut-on toujours atteindre l'objectif avec $r=[(n-1)/(p-1)]$ ? -\end{enumerate} +\q Peut-on toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a $r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? -\q Donner un planning optimal pour les cas suivants : +\q Donner le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants : \begin{enumerate} - \item $p=2$ et $t=3$. - \item $t=p=3$. - \item $t=3$ et $p=6$. + \item $p=2$ et $t=3$, + \item $t=p=3$, + \item $t=3$ et $p=6$, + \item $t=2$ et $p$ quelconque. \end{enumerate} -\q Pour $t=2$, trouver le $r$ optimal et donner un planning optimal. - -\q -\begin{enumerate} - \item Proposer un planning si $p=t$. On pourra commencer pas s'intéresser au cas où $p$ est un nombre premier - ou une puissance de nombre premier. - \item De même si $t$ est une puissance de $p$. -\end{enumerate} - -\q Proposer des plannings dans le cas général. - -L'organisateur essaie d'uniformiser la configuration. -Le but renforcé est que chaque participant soit assis à la même table avec chaque autre participant au moins une fois, -et au plus $f$ fois, où $f$ est un entier strictement positif. On cherche à minimiser $f$. - -\q +\q Estimer le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants : \begin{enumerate} - \item Étudier les configurations où on peut prendre $f=1$. - \item Existe-t-il toujours un planning qui vérifie la contrainte pour $f=2$ ? - \item Y a-t-il un entier $f_0$ tel que pour tout $p$ et $t$ un planning vérifiant la contrainte pour $f=f_0$ existe ? + \item $t=p$ (on pourra commencer par regarder les cas où $p$ est un nombre premier ou une puissance de nombre premier), + \item $t$ est une puissance de $p$. \end{enumerate} -\q Proposer des plannings et des valeurs pour $f$ en reprenant les questions 2) à 5). +\q Proposer d'autres plans idéaux dans le cas général. -\q Proposer et étudier d'autres pistes. +\medskip + +Pour éviter que les participants ne se lassent, l'organisateur essaie d'uniformiser le plan : il veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f>0$. Un tel plan est dit \textbf{$f$-uniforme}. + +\q Décrire les valeurs de $p$ et $t$ pour lesquelles on peut trouver un plan idéal $1$-uniforme. + +\q Existe-t-il toujours un plan idéal $2$-uniforme ? Plus généralement, existe-t-il une valeur de $f$ telle que quels que soient $p$ et $t$, il existe un plan idéal $f$-uniforme ? + +\q Estimer en fonction de $p$ et $t$ le $f$ minimal pour lequel il existe un plan idéal $f$-uniforme. On pourra reprendre les cas particuliers proposés précédemment. + +\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. diff --git a/src/ping_pong.tex b/src/ping_pong.tex index 320ca70..5e872cf 100644 --- a/src/ping_pong.tex +++ b/src/ping_pong.tex @@ -1,25 +1,25 @@ \section{Ping--pong} -Soit $n \geq 2$ un entier, fixé dans tout le problème. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent, si $i