màj fiche pb 3

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 \section*{Eléments de réponse} 
 
-\q Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon.
+\q Facile. Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon.
 
-\q Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable.
+\q Moyen. Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable.
 
-\q Oui : montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser. Pour le nombre de tours, l'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident.
+\q Convergence vers une configuration stable : facile, mais pas forcément évident à rédiger (montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser). Nombre de tours nécessaires : ouvert. L'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident.
 
-\q En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité).
+\q Moyen. En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité).
 
-\q ??
+\q Ouvert en général (mais j'ai très peu réfléchi). Il y a des cas faciles.
 
-\q Exemples : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$. Je pense que tous les mots de longueur $n$ sont inscriptibles, mais ça a l'air dur (j'y arrive pour $n/2$).
+\q Exemple facile : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$.\\
+Facile : Le nombre de mots inscriptibles de taille $\ell$ est borné par $2^{\max(\ell, a_n)}$ où $a_n$ est la réponse à la question 3.\\
+Difficile : tous les mots de taille $n/2$ sont inscriptibles.\\
+Ouvert : je pense que tous les mots de taille $n$ sont inscriptibles.
 
-\q À peu près $1/6$ : il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$.
+\q Difficile : À peu près $1/6$. Il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau de la parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$. C'est pas forcément dur à intuiter, mais il est très rare que les élèves pensent à faire des "asymptotiques pour $n$ grand".