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index.tex

@@ -104,15 +104,19 @@ Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de qu
 
 1.~Combinatoire \hfill 2.~Optimisation, arithmétique \hfill 3.~Systèmes dynamiques \hfill 4.~Analyse, suites \hfill 5.~Géométrie \hfill 6.~Probabilités \hfill 7.~Géométrie, analyse \hfill 8.~Combinatoire, arithmétique
 
-\vspace{1cm}
+\vspace{0.5cm}
 
 \section*{Notations}
 \begin{tabular}{ll}
 $\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$ & ensemble contenant les éléments $a_1, a_2, \dots, a_n$ \\
-$\mathbb{N}$ & ensemble des entiers positifs \\
+$\mathbb{R}$ & ensemble des nombres réels \\
-$[x,y]$ & ensemble des nombres réels compris entre $x$ et $y$ inclus \\
+$[a,b]$ & ensemble des nombres réels compris entre $a$ et $b$ inclus \\
+$]a,b[$ & ensemble des nombres réels compris entre $a$ et $b$ exclus \\
+$[a,b]\cup [c,d]$ & ensemble des nombres réels compris entre $a$ et $b$ ou entre $c$ et $d$ inclus \\
 $\min_{x\in X} f(x)$ & plus petite valeur prise par $f(x)$ quand $x$ parcourt l'ensemble $X$\\
-$\lceil x\rceil$ & plus petit entier supérieur ou égal au réel $x$
+$\lceil x\rceil$ & plus petit entier supérieur ou égal au réel $x$\\
+$PGCD(u,v)$ & plus grand entier positif divisant à la fois $u$ et $v$\\
+$PPCM(u,v)$ & plus petit entier positif divisible à la fois par $u$ et $v$\\
 \end{tabular}
 
 \restoregeometry

src/brioches.tex

@@ -6,7 +6,7 @@ Lorsqu'elle est au four, la pâte s'étale et remplit le disque de rayon $R(P)$
 
 On appelle \textbf{cookie du plan}, ou plus simplement cookie, un ensemble de points du plan telle que la pâte de Perrine peut s'étaler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé.
 
-La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le orange est obtenu en étalant un pâte de rayon constant égal à $1$ sur un segment de longueur $1$. La bleue est composée à partir d'un segment de pâte de rayon variable et d'un autre point de pâte.
+La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le cookie orange est obtenu en étalant une pâte de rayon constant égal à $1$ sur un segment de longueur $1$. Le cookie bleu est obtenu à partir d'un segment de pâte de rayon variable et d'un autre point de pâte.
 
 \begin{figure}[!ht]
     \centering
@@ -33,12 +33,12 @@ La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le orange est obt
     \label{fig:pate}
 \end{figure}
 
-Perrine aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes:
+Perrine aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
 \begin{enumerate}
     \item un disque de rayon $R$;
     \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
     \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
-    \item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$).
+    \item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$), les deux cercles étant inclus dans le cookie.
 \end{enumerate}
 
 \begin{center}
@@ -63,11 +63,11 @@ La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des l
 
 \medskip
 
-La précision de l'outil de Perrine étant limitée, la quantité de pâte qu'elle dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Perrine est de précision $r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Perrine. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Perrine peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux question suivantes vont donc dépendre de $r$.
+La précision de l'outil de Perrine étant limitée, la quantité de pâte qu'elle dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Perrine est de précision $r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Perrine. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Perrine peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
 
 En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie.
 
-\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-cookie, en fonction de $r$.
+\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-cookies, en fonction de $r$.
 
 \q On suppose dans cette question que Perrine réalise un $r$-cookie sans faire de segment de longueur $0$ et tel qu'il est impossible d'obtenir la même forme en utilisant strictement moins de pâte. Est-il possible qu'une répartition différente de la même quantité de pâte permette d'obtenir le même $r$-cookie, toujous sans segment de longueur $0$ ?
 
@@ -84,17 +84,17 @@ En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie
 
 \medskip
 
-Perrine s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-cookies. Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions continues telle que :
+Perrine s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions continues telles que :
 \begin{itemize}
     \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
     \item pour toutes les autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
 \end{itemize}
 
-Perrine trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\big(x(t),y(t)\big)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est un $r$-cookie.
+Perrine trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est un $r$-cookie.
 
 \q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un $r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
 
-\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit une $r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
+\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit un $r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
 
 %Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ?
 

src/depollution_seine.tex

@@ -1,10 +1,10 @@
 \section{Dépollution de la Seine}
 Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués.
 
-Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in ]0,V[$. On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
+Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in ]0,V[$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
 \begin{itemize}
     \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre.
-    \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
+    \item Au coucher du soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
     \item Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin (précisé plus bas).
     \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile (elle dépolluera l'eau où elle se trouve le midi du jour $T+1$).
 \end{itemize}
@@ -36,20 +36,21 @@ Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) =
 
 \medskip
 
-On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée entre le coucher du Soleil et minuit. A minuit, les bactéries se trouveront donc proportionnellement réparties dans l'eau propre et polluée : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$), alors les volumes de bactéries dans l'eau propre et polluée seront respectivement $f\big( v_T \big) a_T$ et $f\big( v_T \big) b_T$.
+On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée entre le coucher du soleil et minuit. A minuit, les bactéries se trouveront donc proportionnellement réparties dans l'eau propre et polluée : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$), alors les volumes de bactéries dans l'eau propre et polluée seront respectivement $f\big( v_T \big) a_T$ et $f\big( v_T \big) b_T$.
 
 \q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K$ et $v_0$ pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
 
 \medskip
 
-L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, entre midi et le coucher du Soleil, un volume $w\in[0,V]$ d'eau s'évapore. Elle est remplacé par la même quantité d'eau polluée au coucher du Soleil avant le brassage. La proportion d'eau polluée dans l'eau évaporée est la même que celle dans le bassin : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$) alors les volumes d'eau propre et polluée évaporés sont $a_Tw$ et $b_Tw$ respectivement.
+L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, entre midi et le coucher du soleil, un volume $w\in[0,V]$ d'eau s'évapore. Elle est remplacé par la même quantité d'eau polluée au coucher du soleil avant le brassage. La proportion d'eau polluée dans l'eau évaporée est la même que celle dans le bassin : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$) alors les volumes d'eau propre et polluée évaporés sont $a_Tw$ et $b_Tw$ respectivement.
 
-\q On note $u_T$, avec $0 \leq u_T \leq V$, la quantité d'eau propre dans le bassin le matin du jour $T$. Trouver des conditions nécessaires/suffisantes sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que:
+\q On note $u_T$, avec $0 \leq u_T \leq V$, la quantité d'eau propre dans le bassin le matin du jour $T$. Trouver des conditions nécessaires/suffisantes sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que :
 \begin{enumerate}
 \item la suite $(u_T)$ admette une limite, et estimer la limite en fonction de $K$, $w$ et $v_0$;
 \item la suite $(u_T)$ soit périodique, et estimer la période en fonction de $K$, $w$ et $v_0$.
-\item \'Etudier le plus généralement possible la suite $u_T$.
 \end{enumerate}
+\'Etudier le plus généralement possible la suite $u_T$.
+
 
 \medskip 
 

src/matheux_sociables.tex

@@ -1,9 +1,8 @@
 \section{Rassemblements mathématiques}
 
-Lors d'une olympiade mathématiques, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent.
+Lors d'une olympiade mathématique, des jeunes mathématiciennes et mathématiciens se rencontrent. L'organisateur doit définir des \emph{plans de placements} pour les repas, c'est-à-dire définir chaque jour qui s'assiéra où. Il souhaite que les participants se mélangent au maximum au moment des repas donc élaborer un plan de placement des participants sur plusieurs jours de sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.
-L'organisateur souhaite que les participants se rencontrent au maximum au moment des repas. Il veut dont élaborer un plan de placement des participants du plusieurs jours se sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.
 
-Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p > 1$ places. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade et prennent $r$ repas ensemble.
+Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade et prennent $r$ repas ensemble.
 
 \begin{figure}[!ht]
 \centering
@@ -26,8 +25,10 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p > 1$ places. Au tota
 \draw (9,1.5) node {D};
 \draw (7,0) node {B};
 \draw (9,0) node {C};
+\draw[dashed] (2,-0.5) -- (2,2);
+\draw[dashed] (6,-0.5) -- (6,2);
 \end{tikzpicture}
-\caption{Exemple de plan de placement pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D}
+\caption{Exemple de plan de placement idéal pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D}
 \end{figure}
 
 \q Peut-on toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a $r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
@@ -40,9 +41,9 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p > 1$ places. Au tota
     \item $t=2$ et $p$ quelconque.
 \end{enumerate}
 
-\q Estimer le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
+\q Estimer la valeur minimale de $r$ permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
 \begin{enumerate}
-    \item $t=p$ (on pourra commencer par regarder les cas où $p$ est un nombre premier ou une puissance de nombre premier),
+    \item $t=p$ (on pourra commencer par regarder les cas où $p$ est un nombre premier ou une puissance de nombre premier) ;
     \item $t$ est une puissance de $p$.
 \end{enumerate}
 
@@ -50,13 +51,13 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p > 1$ places. Au tota
 
 \medskip
 
-Pour éviter que les participants ne se lassent, l'organisateur essaie d'uniformiser le plan : il veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f>0$. Un tel plan est dit \textbf{$f$-uniforme}.
+Pour éviter que les participants ne se lassent, l'organisateur essaie d'uniformiser le plan : il veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit \textbf{$f$-uniforme}.
 
 \q Décrire les valeurs de $p$ et $t$ pour lesquelles on peut trouver un plan idéal $1$-uniforme.
 
-\q Existe-t-il toujours un plan idéal $2$-uniforme ? Plus généralement, existe-t-il une valeur de $f$ telle que quels que soient $p$ et $t$, il existe un plan idéal $f$-uniforme ?
+\q Existe-t-il toujours un plan idéal $2$-uniforme ? Plus généralement, existe-t-il une valeur de $f$ telle qu'il existe un plan idéal $f$-uniforme quels que soient $p$ et $t$ ?
 
-\q Estimer en fonction de $p$ et $t$ le $f$ minimal pour lequel il existe un plan idéal $f$-uniforme. On pourra reprendre les cas particuliers proposés précédemment.
+\q Estimer, en fonction de $p$ et $t$, la valeur minimale de $f$ pour laquelle il existe un plan idéal $f$-uniforme. On pourra reprendre les cas particuliers proposés précédemment.
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
 

src/oracle.tex

@@ -1,32 +1,32 @@
 \section{Création d'un jeu}
 
-U. N. Lock cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un sybole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.
+U. N. Lock cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un symbole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.
 
-Lock veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont correctes mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires correctes, il procède de la façon suivante : il écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec $2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante.
+Lock veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, il procède de la façon suivante : il écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec $2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
 
 Une configuration est \textbf{admissible} s'il est possible pour Lock d'effectuer la construction précédente, c'est-à-dire de numéroter les cartes et créer le manuel correspondant.
 
-Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et les seules paires correctes sont $(A,D)$ et $(C,D)$. Lock peut faire la construction suivante : il attribue aux cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ les numéros $3$, $5$, $2$, $1$, $4$ respectivement et écrit, sur les $10$ pages de son manuel, \og{}autorisée \fg{} sur les pages $3$ et $4$ et \og{}interdite \fg{} sur toutes les autes pages.
+Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et les seules paires autorisées sont $(A,D)$ et $(C,D)$. Cette configuration est admissible, car Lock peut faire la construction suivante : il attribue aux cartes A, B, C, D, E les numéros 3, 5, 2, 1, 4 respectivement, et écrit \og{}autorisée \fg{} sur les pages $3$ et $4$ de son manuel et \og{}interdite \fg{} sur toutes les autres pages.
 
-\q Pour quels $N$ toutes les configurations sont-elles admissibles ?
+\q Pour quels $N$ n'importe quelle configuration est-elle admissible ?
 
-\q En fonction de $N$, toutes les configurations sont-elles admissibles parmi celles où :
+\q Pour quels $N$ n'importe quelle configuration est-elle admissible parmi celles pour lesquelles :
 \begin{enumerate}
-\item chaque carte appartient au moins à une paire autorisée ?
+\item chaque carte appartient à au moins une paire autorisée ?
-\item chaque carte appartient au plus à une paire autorisée ?
+\item chaque carte appartient à au plus une paire autorisée ?
-\item chaque carte appartient au plus à deux paire autorisée ?
+\item chaque carte appartient à au plus deux paires autorisées ?
 \end{enumerate}
 
-\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~PGCD.
+\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si, au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~PGCD.
 
-\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~PPCM (le manuel a alors $N^2$ pages).
+\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si, au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~PPCM (le manuel a alors $N^2$ pages).
 
-\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~produit (le manuel a alors $N^2$ pages).
+\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si, au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~produit (le manuel a alors $N^2$ pages).
 
 \medskip
 
-On revient dans le cas de la somme. Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Lock s'autorise à numéroter les cartes avec des nombre deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration est dite \textbf{$M$-admissible} si Lock peut construire une telle numérotation et un manuel associé.
+Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Lock s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration est dite \textbf{$M$-admissible} si Lock peut construire une telle numérotation et un manuel associé.
 
-\q Estimer, en fonction de la configuration, le $M$ minimal pour lequel la configuration est $M$-admissible. On pourra reprendre les cas des questions \textbf{1.} et \textbf{2.}.
+\q Estimer, en fonction de $N$, le $M$ minimal pour lequel toute configuration est $M$-admissible. Donner des exemples de configurations pour lesquelles on peut calculer le $M$ minimal pour lequel elles sont $M$-admissibles. On s'intéressera aux différents modes de combinaison des cartes (somme, PGCD...).
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.

src/piece_truquee.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Pièces truquées}
 
-Félix et Félicie jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Félicie essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Félicie fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Félicie fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$.
+Soit $n\geq 1$ un entier. Félix et Félicie jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Félicie essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Félicie fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Félicie fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$.
 
 Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
 \small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
@@ -12,7 +12,7 @@ Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
 \end{itemize} \normalsize
 Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
 
-\q Félicie gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
+\q Félicie gagne un point par prédiction juste. Son nombre total de points à la fin de la partie est appelé son \emph{gain}. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
 \begin{enumerate}
 	\item toujours pile ?
 	\item le résultat du lancer précédent ?
@@ -25,26 +25,28 @@ Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième pr
 %	\item elle gagne autant de points qu'elle a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
 %\end{enumerate}
 
-Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$.
+Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est un sous-ensemble de $[0,1]$.
 
-Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
+Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Soit $G_{\mathcal{S},p}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, avec $p$ la probabilité que la pièce tombe sur pile. On définit le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ comme $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}(G_{\mathcal{S},p})$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
 
 \q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (c'est-à-dire qu'elle n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
 
-\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ et quel est-il si :
+\q Quelle(s) stratégie(s) $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ (et quel est-il) si :
 \begin{enumerate}
 	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{3}]$ ?
 	\item $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
 	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
 \end{enumerate}
 
+\medskip
+
 A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$ et $q$ (donc les choix de prédictions qu'elle fait peuvent dépendre de $p_1$, $p_2$ et $q$).
 
 \q Quelle est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle stratégie donne la plus grande espérance du gain et que vaut-elle ?
 
 \medskip
 
-Félicie n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Félicie peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Félicie gagne $m$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
+Félicie n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Félicie peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Félicie gagne $\alpha$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
 
 \q Quelle stratégie maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (c'est-à-dire qu'on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
 
@@ -54,8 +56,8 @@ Désormais, Félix possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours
 
 \q Félicie doit deviner quel $K$ a été choisi par Félix.
 \begin{enumerate}
-	\item Elle annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ?
+	\item Elle annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle(s) stratégie(s) lui permet(tent) de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ?
-	\item Après chaque lancer, Félicie peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. Si elle a raison, elle gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si elle fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et elle ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et elle gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle stratégie lui permet de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
+	\item Après chaque lancer, Félicie peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. Si elle a raison, elle gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si elle fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et elle ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et elle gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle(s) stratégie(s) lui permet(tent) de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
 \end{enumerate}
 
-\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. On pourra par exemple changer les lois de probabilité du problème, considérer des lancers non indépendants, étudier des cas avec plus de pièces, remplacer les pièces par des dés...
+\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. On pourra par exemple étudier des cas avec plus de pièces, remplacer les pièces par des dés...

src/ping_pong.tex

@@ -1,8 +1,8 @@
 \section{Tournoi de ping--pong}
 
-Soit $n \geq 2$ un entier, fixé dans tout le problème. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours. Les joueuses jouent sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appelle \emph{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de sorte qu'il y a exactement $2$ joueuses à chaque table.
+Soit $n \geq 2$ un entier. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent en match, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours contre la joueuse $j$. Les matchs ont lieu sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appelle \emph{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de sorte qu'il y a exactement $2$ joueuses à chaque table.
 
-Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes à cette table s'affrontent puis pour tout $j$, la gagnante de la table $j$ monte à la table $j-1$ (sauf si $j=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $j$ descend à la table $j+1$ (sauf si $j=n$, auquel cas elle reste à la table $n$).
+Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes s'affrontent puis pour tout numéro de table $k$, la gagnante de la table $k$ monte à la table $k-1$ (sauf si $k=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $k$ descend à la table $k+1$ (sauf si $k=n$, auquel cas elle reste à la table $n$).
 
 \begin{figure}[!ht]
 \begin{center}
@@ -71,7 +71,7 @@ Une configuration est dite \emph{stable} si après deux tours, les joueuses se r
 
 \q On se donne $1 \leq j < k \leq n$. En fonction de $j$ et $k$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $j$ puis se stabilise plus tard à la table $k$ ?
 
-\q Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matches puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
+\q Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matchs puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} s'il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
 \begin{enumerate}
 \item Donner des exemples de mots inscriptibles et de mots non inscriptibles.
 \item En fonction de $n$, estimer le plus grand $\ell$ pour lequel tous les mots de longueur $\ell$ sont inscriptibles.

src/rebonds_etranges.tex

@@ -4,7 +4,7 @@ Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électron
 
 Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron.
 
-La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électron. Le rectangle bleu est le canon à électrons, la flèche bleue est la direction initiale, les point oranges sont les demi-tours provoqués par Nicolas. Les pointillés montrent le prolongement de deux arcs de cercle décrits par l'électron.
+La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électron. Le rectangle bleu est le canon à électrons, la flèche bleue est la direction initiale, les points orange sont les demi-tours provoqués par Nicolas. Les pointillés montrent le prolongement de deux arcs de cercle décrits par l'électron.
 
 \begin{figure}[!ht]
 	\centering
@@ -29,9 +29,9 @@ La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électro
 \item Quelle est la distance minimale parcourue par l'électron pour aller de $A$ à $B$ ?
 \end{enumerate}
 
-Nicolas dessine un cercle de rayon $r$ et place le canon à électons sur le bord du cercle, pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle.
+Nicolas dessine un cercle de rayon $r>0$ et place le canon à électrons sur le bord du cercle, pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle (sauf à l'instant initial).
 
-La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cercle de rayon $r=2$. Il ne touche jamais le cercle gris et, après deux demi-tours, tourne sur lui-même indéfiniment sans jamais toucher le cercle gris.
+La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cercle de rayon $r=2$. Il ne touche jamais le cercle gris et, après deux demi-tours, tourne sur lui-même indéfiniment.
 
 \begin{figure}[!ht]
 	\centering
@@ -48,11 +48,11 @@ La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cerc
 	\label{fig:traj_cerc}
 \end{figure}
 
-\q Combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction du rayon du cercle (ce nombre étant potentiellement infini) ?
+\q Pour quelles valeurs du rayon $r$ du cercle Nicolas peut-il appuyer un nombre fini de fois sur le bouton et s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle ? Dans ce cas, combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction de $r$.
 
-\q Nicolas dispose $n$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. L'électron peut rentrer et sortir du disque, celui-ci n'a aucune influence sur sa trajectoire. Estimez le plus petit entier $N$ tel que quelle que soit la position des $n$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $n$ points en appuyant au plus $N$ fois sur le bouton. Que se passe-t-il avec un disque de rayon $R>0$ quelconque ?
+\q Nicolas place $n$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. L'électron peut rentrer et sortir du disque, celui-ci n'a aucune influence sur sa trajectoire. Estimez le plus petit entier $N$ tel que quelle que soit la position des $n$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $n$ points en appuyant au plus $N$ fois sur le bouton. Que se passe-t-il avec un disque de rayon $R>0$ quelconque ?
 
-\q Nicolas dispose, dans cette question seulement, de $k$ canons à électons disposés de manière quelconque sur le plan, et de $k$ boutons permettant de contrôler chaque électron indépendamment. Peut-il toujours faire en sorte que, après un certain temps, les $k$ électrons se trouvent au même endroit au même moment ?
+\q Nicolas dispose, dans cette question seulement, de $k$ canons à électrons disposés de manière quelconque sur le plan, et de $k$ boutons permettant de contrôler chaque électron indépendamment. Peut-il toujours faire en sorte que, après un certain temps, les $k$ électrons se trouvent au même endroit au même moment ?
 
 \medskip
 
@@ -72,9 +72,9 @@ Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un bouton pour faire faire demi-tour à l'
 
 Il les dispose de sorte à former un polygone convexe (c'est-à-dire dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$). On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone.
 
-Un polygone convexe est dit \emph{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du ploygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, en numérotant les côtés du ploygone $1$, ..., $M$ dans n'importe quel ordre, il est possible de placer le canon à électrons de sorte que l'électron rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ puis... puis $M$.
+Un polygone convexe est dit \emph{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du polygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, en numérotant les côtés du ploygone $1$, ..., $M$ dans n'importe quel ordre, il est possible de placer le canon à électrons de sorte que l'électron rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ puis... puis $M$.
 
-La figure \ref{fig:traj_tri} représente un quatrilatère (en orange) dont on a numéroté des côtés et une trajectoire possible d'un électron qui respecte cet ordre : il rebondit successivement sur les côtés $1$ puis $2$ puis $3$ puis $4$.
+La figure \ref{fig:traj_tri} représente un quatrilatère (en orange) dont on a numéroté les côtés et une trajectoire possible d'un électron qui respecte cet ordre : il rebondit successivement sur les côtés $1$ puis $2$ puis $3$ puis $4$. Pour que ce polygone soit admirable, il faudrait pouvoir faire la même chose quels que soient les numéros attribués aux côtés de ces polygones.
 
 \begin{figure}[!ht]
 	\centering
@@ -98,6 +98,6 @@ La figure \ref{fig:traj_tri} représente un quatrilatère (en orange) dont on a
 
 \q Pour quels $M$ le polygone régulier à $M$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $1$ est-il admirable ?
 
-\q Pour quels $M\geq 3$ Nicolas peut-il construire une polygone admirable à $M$ côtés ?
+\q Pour quels $M\geq 3$ Nicolas peut-il construire un polygone admirable à $M$ côtés ?
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.

src/triominos.tex

@@ -1,10 +1,10 @@
 \section{Triominos}
 
-Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté.
+Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté. Un même nombre peut apparaître plusieurs fois sur un triomino.
 \begin{center}
 \begin{figure}[h]
 \begin{tikzpicture}
-\draw (0,0)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
+\draw[very thick] (0,0)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
 \draw (1,.2) node{$1$};
 \draw (.65,.766) node{$3$};
 \draw (1.35,.766) node{$3$};
@@ -14,13 +14,13 @@ Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des pièces
 \end{figure}
 \end{center}
 
-Alexander décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident toujours.
+Alexander décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident toujours. On appelle cela une \emph{configuration}.
 
 \begin{center}
 \begin{figure}[h]
 \begin{tikzpicture}
-\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
+\draw[very thick] (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
-\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
+\draw[very thick,line join=round] (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
 \draw (1,.2) node{$2$};
 \draw (.65,.766) node{$2$};
 \draw (1.35,.766) node{$2$};
@@ -38,13 +38,13 @@ Alexander décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le p
 \end{figure}
 \end{center}
 
-Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino (c'est-à-dire lui appliquer une symétrie).
+Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino (c'est-à-dire lui appliquer une symétrie axiale).
 
 \begin{center}
 \begin{figure}[h]
 \begin{tikzpicture}
-\draw[thick, orangeAnimath] (0,0)--(4,0)--(3,1.732)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
+\draw[very thick, orangeAnimath] (0,0)--(4,0)--(3,1.732)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
-\draw[thick, bleuAnimath] (4,0)--(6,0)--(5,1.732)--cycle;
+\draw[very thick, bleuAnimath] (4,0)--(6,0)--(5,1.732)--cycle;
 \draw (1,.2) node{$2$};
 \draw (3,.2) node{$1$};
 \draw (.65,.766) node{$1$};
@@ -52,8 +52,8 @@ Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à par
 \draw (2.65,.766) node{$3$};
 \draw (3.35,.766) node{$2$};
 \draw (5,.2) node{$2$};
-\draw (4.65,.766) node{$1$};
+\draw (4.65,.766) node{$3$};
-\draw (5.35,.766) node{$3$};
+\draw (5.35,.766) node{$1$};
 \end{tikzpicture}
 \caption{Les deux triominos oranges sont identiques, mais le triomino bleu est différent.}
 \end{figure}