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Timothee Rocquet 2023-12-30 23:42:27 +01:00
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src/depollution_seine.tex
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@ -46,23 +46,23 @@ L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, entre midi e
\q On note $u_T$, avec $0 \leq u_T \leq V$, la quantité d'eau propre dans le bassin le matin du jour $T$. Trouver des conditions nécessaires/suffisantes sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que:
\begin{enumerate}
\item la suite $(u_T)$ admette une limite, et estimer dans ce cas la limite en fonction de $K$, $w$ et $v_0$;
\item la suite $(u_T)$ soit périodique, et estimer dans ce cas la période en fonction de $K$, $w$ et $v_0$.
\item la suite $(u_T)$ admette une limite, et estimer la limite en fonction de $K$, $w$ et $v_0$;
\item la suite $(u_T)$ soit périodique, et estimer la période en fonction de $K$, $w$ et $v_0$.
\item \'Etudier le plus généralement possible la suite $u_T$.
\end{enumerate}
\medskip
Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage ni d'évaporation mais que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v_T) = K_1 v_T$ et s'il pleut, on a $f(v_T) = K_2 v_T$ avec $K_1>K_2>0$ (avec toujours $f(v_T) V$ si $K_1 v_T>V$ ou $K_2 v_T>V$). Il pleut exactement un jour sur deux : s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Le jour $T=0$, il fait beau.
Pour cette question, on suppose que l'eau est brassée, qu'il n'y a plus d'évaporation mais que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v_T) = K_1 v_T$ et s'il pleut, on a $f(v_T) = K_2 v_T$ avec $K_1>K_2>0$ (avec toujours $f(v_T)=V$ si $K_1 v_T>V$ ou $K_2 v_T>V$). Il pleut exactement un jour sur deux : s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Le jour $T=0$, il fait beau.
\q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué ?
\q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué.
%\begin{enumerate}
%\item Dans un premier temps,
%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ?
%\end{enumerate}
\q On revient pour finir dans le cas général exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. Décrire le comportement de la suite $v_T$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$, d'abord dans les cas extrêmes où $w=V$ (toute l'eau s'évapore), puis $w=0$ (l'eau ne s'évapore pas), puis le cas général.
\q On revient pour finir dans le cas général exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. Décrire le comportement de la suite $v_T$ dans le contexte des questions \textbf{2.}, \textbf{3.}, \textbf{4.} selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$.
%\begin{enumerate}
%\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?