modif

index.tex

@@ -92,7 +92,7 @@
 \thispagestyle{empty}
 
 \section*{Préambule}
-Ces problèmes sont difficiles et sont proposés par des chercheurs et étudiants en mathématiques. Ils n'admettent pas toujours, à la connaissance du jury, de solution complète mais sont accessibles à des lycéens, c'est-à-dire que les auteurs sont certains qu'un travail de recherche élémentaire peut être mené sur ces problèmes. Le jury n'attend pas des candidats qu'ils résolvent entièrement un problème, mais qu'ils en comprennent les enjeux, résolvent des cas particuliers, repèrent les difficultés et proposent des pistes de recherche. Attention, les questions ne sont pas toujours classées par ordre croissant de difficulté. Enfin, il n'est pas nécessaire de traiter tous les problèmes : chaque équipe peut en refuser un certain nombre sans pénalité. On se reportera au règlement pour plus de détails.
+Ces problèmes sont difficiles et sont proposés par des chercheurs et étudiants en mathématiques. Ils n'admettent jamais, à la connaissance du jury, de solution complète mais sont accessibles à des lycéens, c'est-à-dire que les auteurs sont certains qu'un travail de recherche élémentaire peut être mené sur ces problèmes. Le jury n'attend pas des candidats qu'ils résolvent entièrement un problème, mais qu'ils en comprennent les enjeux, résolvent des cas particuliers, repèrent les difficultés, démontrent des éléments et proposent des pistes de recherche. Attention, les questions ne sont pas toujours classées par ordre croissant de difficulté. Enfin, il n'est pas nécessaire de traiter tous les problèmes : chaque équipe peut en refuser un certain nombre sans pénalité. On se reportera au règlement pour plus de détails.
 
 Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de questions concernant le tournoi ou les énoncés, consulter le site \href{https://www.tfjm.org}{\texttt{www.tfjm.org}} ou contacter les organisateurs à l'adresse \href{mailto:contact@tfjm.org}{\texttt{contact@tfjm.org}}.
 

src/brioches.tex

@@ -1,10 +1,10 @@
 \section{Drôles de cookies}
 
-Perrine a décidé de faire des cookies aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Elle dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme elle le souhaite de la pâte à cookie dans le plan suivant un nombre fini de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à Perrine de déposer de la pâte en quantité $R(P)\geq 0$ plus ou moins importante.
+Fabrice a décidé de faire des cookies aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Il dispose d'une poche à douille qui lui permet de déposer comme il le souhaite de la pâte à cookie dans le plan suivant un nombre fini de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). En chaque point $P$ de l'un de ces segments, la poche à douille permet à Fabrice de déposer de la pâte en quantité $R(P)\geq 0$ plus ou moins importante.
 
-Lorsqu'elle est au four, la pâte s'étale et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Perrine met de la pâte. La pâte de Perrine ne se repousse pas elle même. Par exemple si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte s'étalera en un cookie de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme du cookie après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$ où $P$ parcourt l'ensemble des points où Perrine a mis de la pâte.
+Lorsqu'elle est au four, la pâte s'étale et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Fabrice met de la pâte. La pâte de Fabrice ne se repousse pas elle même. Par exemple si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte s'étalera en un cookie de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme du cookie après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$ où $P$ parcourt l'ensemble des points où Fabrice a mis de la pâte.
 
-On appelle \textbf{cookie du plan}, ou plus simplement cookie, un ensemble de points du plan telle que la pâte de Perrine peut s'étaler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé.
+On appelle \textbf{cookie du plan}, ou plus simplement cookie, un ensemble de points du plan telle que la pâte de Fabrice peut s'étaler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé.
 
 La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le cookie orange est obtenu en étalant une pâte de rayon constant égal à $1$ sur un segment de longueur $1$. Le cookie bleu est obtenu à partir d'un segment de pâte de rayon variable et d'un autre point de pâte.
 
@@ -33,7 +33,7 @@ La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le cookie orange
     \label{fig:pate}
 \end{figure}
 
-Perrine aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
+Fabrice aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
 \begin{enumerate}
     \item un disque de rayon $R$;
     \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
@@ -59,17 +59,21 @@ Perrine aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
 
 La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Perrine place de la pâte.
 
-\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Perrine peut-elle la réaliser ?
+\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Fabrice peut-il la réaliser ?
 
 \medskip
 
+<<<<<<< HEAD
 La précision de l'outil de Perrine étant limitée, la quantité de pâte qu'elle dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Perrine est de précision~$r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Perrine. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Perrine peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
+=======
+La précision de la poche à douille de Fabrice étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Fabrice est de précision $r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Fabrice. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Fabrice peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
 En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie.
 
 \q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-cookies, en fonction de $r$.
 
-\q On suppose dans cette question que Perrine réalise un $r$-cookie sans faire de segment de longueur $0$ et tel qu'il est impossible d'obtenir la même forme en utilisant strictement moins de pâte. Est-il possible qu'une répartition différente de la même quantité de pâte permette d'obtenir le même $r$-cookie, toujous sans segment de longueur $0$ ?
+\q On suppose dans cette question que Fabrice réalise un $r$-cookie sans faire de segment de longueur $0$ et tel qu'il est impossible d'obtenir la même forme en utilisant strictement moins de pâte. Est-il possible qu'une répartition différente de la même quantité de pâte permette d'obtenir le même $r$-cookie, toujous sans segment de longueur $0$ ?
 
 %\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ?
 
@@ -84,13 +88,21 @@ En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie
 
 \medskip
 
+<<<<<<< HEAD
 Perrine s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Pour cela on suppose qu'elle dispose de deux fonctions continues $x : \R \to \R$ et~$y : \R \to \R$ qui vérifient les propriétés suivantes :
+=======
+Fabrice s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions continues telles que :
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 \begin{itemize}
     \item elles sont 1-périodiques, c'est-à-dire que $x(t+1) = x(t)$ et $y(t+1) = y(t)$ pour tout $t$ réel,
     \item pour toutes valeurs de $t$ et $t'$, tel que on a simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$, alors la différence $t-t'$ est entière.
 \end{itemize}
 
+<<<<<<< HEAD
 Perrine trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}. Elle cherche maintenant à savoir si la partie du plan que le contour délimite (que l'on suppose bien définie) est un~$r$-cookie.
+=======
+Fabrice trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est un $r$-cookie.
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
 \q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un~$r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 
 

src/depollution_seine.tex

@@ -52,7 +52,7 @@ On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée entre le coucher du solei
 
 L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, entre midi et le coucher du soleil, un volume $w\in[0,V]$ d'eau s'évapore. Elle est remplacé par la même quantité d'eau polluée au coucher du soleil avant le brassage. La proportion d'eau polluée dans l'eau évaporée est la même que celle dans le bassin : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$) alors les volumes d'eau propre et polluée évaporés sont $a_Tw$ et $b_Tw$ respectivement.
 
-\q On note $u_T$, avec $0 \leq u_T \leq V$, la quantité d'eau propre dans le bassin le matin du jour $T$. Trouver des conditions nécessaires/suffisantes sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que :
+\q On note $u_T$, avec $0 \leq u_T \leq V$, le volume d'eau propre dans le bassin le matin du jour $T$. Trouver des conditions nécessaires/suffisantes sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que :
 \begin{enumerate}
 \item la suite $(u_T)$ admette une limite, et estimer la limite en fonction de $K$, $w$ et $v_0$;
 \item la suite $(u_T)$ soit périodique, et estimer la période en fonction de $K$, $w$ et $v_0$.

src/matheux_sociables.tex

@@ -1,6 +1,10 @@
 \section{Rassemblements mathématiques}
 
+<<<<<<< HEAD
 Lors d'une olympiade de mathématiques, des jeunes mathématiciennes et mathématiciens se rencontrent. L'organisateur doit définir des \textbf{plans de placements} pour les repas, c'est-à-dire définir chaque jour qui s'assiéra où. Il souhaite que les participants se mélangent au maximum au moment des repas. Il va donc élaborer un plan de placement des participants sur plusieurs jours de sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.
+=======
+Lors d'un tournoi de mathématiques, des jeunes mathématiciennes et mathématiciens se rencontrent. Perrine doit définir des \emph{plans de placements} pour les repas, c'est-à-dire définir chaque jour qui s'assiéra où. Elle souhaite que les participants se mélangent au maximum au moment des repas donc élaborer un plan de placement des participants sur plusieurs jours de sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
 Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade et prennent $r$ repas ensemble.
 
@@ -31,7 +35,11 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au t
 \caption{Exemple de plan de placement idéal pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D.}
 \end{figure}
 
+<<<<<<< HEAD
 \q Peut-on toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? \'Etudier également le cas où~$r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
+=======
+\q Perrine peut-elle toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a $r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
 \q Donner le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
 \begin{enumerate}
@@ -51,7 +59,11 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au t
 
 \medskip
 
+<<<<<<< HEAD
 Pour éviter que les participants ne se lassent, l'organisateur essaie d'uniformiser le plan : il veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit~$f$\textbf{-uniforme}.
+=======
+Pour éviter que les participants ne se lassent, Perrine essaie d'uniformiser le plan : elle veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit \textbf{$f$-uniforme}.
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
 \q Décrire les valeurs de $p$ et $t$ pour lesquelles on peut trouver un plan idéal $1$-uniforme.
 

src/oracle.tex

@@ -1,10 +1,14 @@
 \section{Création d'un jeu}
 
-U. N. Lock cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un symbole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.
+Anaïs cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un symbole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.
 
+<<<<<<< HEAD
 Lock veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, il procède de la façon suivante : il écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec~$2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
+=======
+Anaïs veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, elle procède de la façon suivante : elle écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec $2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
-Une configuration est \textbf{admissible} s'il est possible pour Lock d'effectuer la construction précédente, c'est-à-dire de numéroter les cartes et créer le manuel correspondant.
+Une configuration est \textbf{admissible} s'il est possible pour Anaïs d'effectuer la construction précédente, c'est-à-dire de numéroter les cartes et créer le manuel correspondant.
 
 Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et les seules paires autorisées sont $(A,D)$ et $(C,D)$. Cette configuration est admissible, car Lock peut faire la construction suivante : il attribue aux cartes A, B, C, D, E les numéros 3, 5, 2, 1, 4 respectivement, et écrit \og{}autorisée \fg{} sur les pages $3$ et $4$ de son manuel et \og{}interdite \fg{} sur toutes les autres pages.
 
@@ -25,7 +29,11 @@ Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$,
 
 \medskip
 
+<<<<<<< HEAD
 Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Lock s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration pour laquelle Lock peut construire une telle numérotation et un manuel associé est dite dite~\textbf{$M$-admissible}.
+=======
+Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Anaïs s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration est dite \textbf{$M$-admissible} si Anaïs peut construire une telle numérotation et un manuel associé.
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
 \q Estimer, en fonction de $N$, le $M$ minimal pour lequel toute configuration est $M$-admissible. Donner des exemples de configurations pour lesquelles on peut calculer le $M$ minimal pour lequel elles sont $M$-admissibles. On s'intéressera aux différents modes de combinaison des cartes (somme, PGCD...).
 

src/piece_truquee.tex

@@ -1,6 +1,10 @@
 \section{Pièces truquées}
 
+<<<<<<< HEAD
 Soit $n\geq 1$ un entier. Félix et Félicie jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Félicie essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Félicie fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Félicie fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$,..., $n$.
+=======
+Soit $n\geq 1$ un entier. Félix et Félicie jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Félicie essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Félicie fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Félicie fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. Les $n+1$ lancers et les $n$ prédictions constituent une \textbf{partie}.
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
 Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
 \small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
@@ -27,7 +31,11 @@ Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième pr
 
 Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est un sous-ensemble de $[0,1]$.
 
+<<<<<<< HEAD
 Une \textbf{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Soit $G_{\mathcal{S},p}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, avec $p$ la probabilité que la pièce tombe sur pile. On définit le \textbf{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ comme $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}(G_{\mathcal{S},p})$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
+=======
+Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne trois exemples de stratégies. Soit $G_{\mathcal{S},p}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, avec $p$ la probabilité que la pièce tombe sur pile. On définit le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ comme $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}(G_{\mathcal{S},p})$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
+>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
 
 \q Si Félicie n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$, c'est-à-dire que $\mathcal{P}=[0,1]$. Quel est le gain minimal espéré pour les stratégies a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
 

src/ping_pong.tex

@@ -61,15 +61,15 @@ Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent
 
 Une configuration est dite \textbf{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.
 
-\q On se fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
+\q On fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
 
 \q Compter le nombre de configurations stables en fonction de $n$.
 
 \q Les joueuses atteignent-elles toujours une configuration stable après un nombre de tours suffisants ? Dans ce cas, donner un encadrement en fonction de $n$ du plus grand nombre possible de tours qui peuvent être nécessaires pour atteindre une configuration stable.
 
-\q Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq j \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $j$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre au moins une fois ?
+\q Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq k \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $k$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre au moins une fois ?
 
-\q On se donne $1 \leq j < k \leq n$. En fonction de $j$ et $k$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $j$ puis se stabilise plus tard à la table $k$ ?
+\q On se donne $1 \leq k < l \leq n$. En fonction de $k$ et $l$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $k$ puis se stabilise plus tard à la table $l$ ?
 
 \q Les joueuses tiennent un carnet où elles notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matchs puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \textbf{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
 \begin{enumerate}
@@ -78,6 +78,6 @@ Une configuration est dite \textbf{stable} si après deux tours, les joueuses se
 \item En fonction de $n$ et $\ell$, estimer le nombre de mots inscriptibles de longueur $\ell$.
 \end{enumerate}
 
-\q Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Généraliser.
+\q Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Généraliser en changeant les numéros de la joueuse et de la table.
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.

src/rebonds_etranges.tex

@@ -96,7 +96,7 @@ La figure \ref{fig:traj_tri} représente un quatrilatère (en orange) dont on a
 	\label{fig:traj_tri}
 \end{figure}
 
-\q Pour quels $M$ le polygone régulier à $M$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $1$ est-il admirable ?
+\q Pour quels $M$ le polygone régulier à $M$ côtés dont tous les sommets sont sur un cercle de rayon $1$ est-il admirable ?
 
 \q Pour quels $M\geq 3$ Nicolas peut-il construire un polygone admirable à $M$ côtés ?
 

src/triominos.tex

@@ -117,6 +117,6 @@ Maintenant les trois nombres aux sommets des pièces triangulaires sont quelconq
 
 \q Reprendre les questions \textbf{1.} à \textbf{3.} dans ce cadre.
 
-\q Estimer, en fonction de $n$, la taille du plus grand losange qu'Alexander peut former avec ses triominos.
+\q Estimer, en fonction de $n$, la taille du plus grand losange plein qu'Alexander peut former avec ses triominos.
 
 \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.