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 \section{Dépollution de la Seine}
 Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués.
 
-Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in [0,V]$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre mais occupent une partie de l'eau du bassin). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec~$T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
+Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Initialement, le bassin, de volume $V=2500\, m^3$, ne contient que de l'eau polluée. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on largue des bactéries dans le bassin.
+Les bactéries n'occupent pas forcément toute l'eau du bassin: il y a de l'eau avec bactéries et de l'eau sans bactéries, qui ne se mélangent pas. On note $v_0\in [0,V]$ le volume d'eau avec bactéries après le premier largage des bactéries. Pour $T\in\mathbb{N}$, on notera $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$. La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
 \begin{itemize}
-    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre.
+    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution: ainsi, l'eau polluée avec bactéries devient de l'eau propre avec bactéries.
     \item Au coucher du soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
     \item Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin. La manière dont elles se déplacent varie selon les questions et sera précisée.
-    \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile (elle dépolluera l'eau où elle se trouve le midi du jour $T+1$).
+    \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Ainsi, l'eau propre avec bactéries devient de l'eau propre sans bactéries. Si la bactérie se retrouve dans de l'eau polluée, alors elle reste immobile (le volume d'eau polluée avec bactérie reste inchangé). 
 \end{itemize}
 
 Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc 
@@ -16,18 +17,18 @@ $$f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right).$$
 
 \medskip
 
-Désormais, pour simplifier, on prend pour l'instant
+Désormais, pour simplifier, on prend
 $$ f(v)=\left \{
 \begin{array}{ll}
 	Kv \text{ si } 0 \leq Kv \leq V,\\
 	V \text{ sinon,}
 \end{array}
 \right.$$
-où $K$ est une constante strictement positive. Autrement dit, on considère que le terme $-v^2/V$ est négligeable. La question \textbf{7.} adresse le cadre sans cette simplification.
+où $K$ est une constante strictement positive. Autrement dit, on considère que le terme $-v^2/V$ est négligeable. Dans la question \textbf{7.}, on traitera le cadre sans cette simplification.
 
-\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ?
+\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Autrement dit, le volume d'eau propre avec bactéries est le plus petit possible (sachant que les volumes sont fixes lors du déplacement). Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ?
 
-\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau propre, puis dans l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre mourront donc à minuit sans se reproduire le lendemain midi).
+\q Inversement, on suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau propre, puis dans l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre mourront donc à minuit sans se reproduire le lendemain midi).
 \begin{enumerate}
 \item Étudier l'évolution de la suite $v_T$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle?
 \item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?