diff --git a/src/brioches.tex b/src/brioches.tex index 0cd550b..f635354 100644 --- a/src/brioches.tex +++ b/src/brioches.tex @@ -1,71 +1,82 @@ \section{Brioches gonflées} -\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Il dispose d'un outil qui permet de déposer de la pâte à brioche suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur $0$). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentrée et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout. -La brioche d'\'Eric ne se repousse pas elle même : -par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la brioche aura pour forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. +\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. +Il dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme il le souhaite de la pâte à brioche dans le plan suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). +En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à \'Eric de déposer de la pâte en quantité $R(P)$ plus ou moins importante. + +Lorsqu'elle est au four, la pâte gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric met de la pâte. +La pâte d'\'Eric ne se repousse pas elle même: +par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte gonflera en une brioche de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$. +On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de points du plan telle que la pâte d'\'Eric peut gonfler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé. -\textcolor{red}{Préciser que c'est Eric qui choisit la quantité de brioche.} + +\textcolor{red}{Brioche, ou cookie, ou autre ?} \begin{figure}[ht] - \centering - \begin{tikzpicture}[scale=1] - \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle; - \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); - \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2); - - \draw (0,0) -- (2,0); - \end{tikzpicture} - \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.} - \label{fig:pate_basique} + \centering + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle; + \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); + \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2); + + \draw (0,0) -- (2,0); + \end{tikzpicture} + \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.} + \label{fig:pate_basique} \end{figure} \begin{figure}[ht] - \centering - \begin{tikzpicture}[scale=1] - \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle; - \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); - \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1); - - \draw (0,0) -- (2,0); - - \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5); - \draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2); - \draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2); - \end{tikzpicture} - \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.} - \label{fig:pate_complexe} + \centering + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle; + \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); + \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1); + + \draw (0,0) -- (2,0); + + \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5); + \draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2); + \draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2); + \end{tikzpicture} + \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.} + \label{fig:pate_complexe} \end{figure} - -\q Avec ce procédé, \'Eric peut-il faire une brioche qui a la forme: +\'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes: \begin{enumerate} - \item d'un disque ? - \item d'un rectangle quelconque ? - \item d'un triangle quelconque ? - \item d'un anneau (un grand disque centré en un point $A$ dont on a retiré un petit disque centré en ce même point $A$). + \item un disque de rayon $R$; + \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$; + \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$; + \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$). \end{enumerate} -\q Reprendre la question \textbf{1.} si on suppose que $R(P)=r$ ne dépend pas de $P$. -Plus généralement, donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir. +\textcolor{red}{faire des figures pour les brioches.} + +\q La forme a) est-elle une brioche ? Même question pour chacune des formes b), c) et d). \medskip -Désormais, \'Eric souhaite économiser la pâte et en utiliser le moins possible. La quantité de pâte est la somme des longueurs des segments où il a placé de la pâte. -% \'Eric étant très intelligent il utilisera toujours le moins de pâte possible. +La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire une brioche est la somme des longueurs des segments où \'Eric place de la pâte. -\q Pour quelles quantités de pâte peut-il réaliser chacune des formes suivantes : -\begin{enumerate} - \item un disque de rayon $R$ ? - \item un rectangle de côtés de longueurs $a$ et $b$ ? - \item un triangle de côtés $a$, $b$ et $c$ ? - \item un anneau de rayon intérieur $r$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>r$) ? -\end{enumerate} -On s'intéressera plus à comment la pâte est disposée qu'à la valeur précise de la longueur totale [A FORMULER BIEN] +\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des brioches, pour quelles quantités de pâte \'Eric peut-il la réaliser ? -\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une forme de brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte) ? +\medskip + +La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. On dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r \geqslant 0$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. +On appelle $r$-\textbf{brioche du plan}, ou plus simplement $r$-brioche, une brioche qu'\'Eric peut réaliser avec un outil de précision $r$. + +En particulier, les $0$-brioches sont exactement les brioches, et toute $r$-brioche est une brioche. + +\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-brioches, en fonction de $r$. + +\medskip + +Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duquel répondre. + +\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une $r$-brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme, et que cette dernière n'utilise aucun segment de longueur 0. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte), sans segment de longueur 0 ? %\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ? @@ -78,13 +89,28 @@ On s'intéressera plus à comment la pâte est disposée qu'à la valeur précis % \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ? %\end{enumerate} -\q Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? +\medskip -\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ? +\'Eric s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-brioches. -\q Dans le cas où le rayon est constant=r donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir. +Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que : +\begin{itemize} + \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$, + \item pour toute autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$. +\end{itemize} +\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $(x(t),y(t))$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche. + +\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas une $r$-brioche ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? + +\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit une brioche, mais qui ne soit une $r$-brioche pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? + +%Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? + +%\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ? + +\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit une $r$-brioche. %\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A. -\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche. +\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, notamment en dimension $3$.