From 1bf25e41e11574827898440e90359fb67c0e0c92 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Nathana=C3=ABl?= Date: Tue, 5 Dec 2023 20:21:50 +0100 Subject: [PATCH 01/11] ajout titre --- src/depollution_seine.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/src/depollution_seine.tex b/src/depollution_seine.tex index 2ebc468..3437e2d 100644 --- a/src/depollution_seine.tex +++ b/src/depollution_seine.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Titre} +\section{Dépollution de la Seine} Énoncé From 63589456c9c1beedb2981ce74a12a32ea1f4d1d0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Guillaume Garnier Date: Sat, 9 Dec 2023 10:23:16 +0100 Subject: [PATCH 02/11] =?UTF-8?q?Update=20pi=C3=A8ce=20truqu=C3=A9es?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/piece_truquee.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 1a60989..72d54d8 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -33,7 +33,7 @@ A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièce qui tombent sur pile av \q Maintenant A commence par tirer la pièce 1 puis, à partir du K-ième lancer, tire la pièce 2, où K est choisi uniformément au hasard. B essaye de deviner K et gagne N - |K-K'| points, où K' est sa prédiction. \begin{enumerate} - \item Il annonce sa prédiction à la fin des N lancers. Quelle est la meilleure stratégie ? Quelle est alors son gain moyen ? + \item Il annonce sa prédiction à la fin des N lancers. Quelle est la meilleure stratégie ? Quel est alors son gain moyen ? \item Il fait sa prédiction après le lancer K'. Quel est la meilleure stratégie ? Quel est son gain moyen ? \end{enumerate} From f11b0ad5d996ad598233ee13b6abedfcac24dcb7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unknown Date: Tue, 12 Dec 2023 07:14:43 +0100 Subject: [PATCH 03/11] changement figures --- src/triominos.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index 0d73c72..d2bed65 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -7,7 +7,7 @@ On considère un pavage triangulaire du plan comme illustré ci-dessous. \begin{figure}[h] -\includegraphics[scale=0.2]{Pavage.png} +\includegraphics[scale=0.4]{src/Pavage.png} \centering \end{figure} @@ -15,14 +15,14 @@ Nous allons placer sur ce pavage des pièces de triomino qui sont des triangles Deux triominos peuvent se trouver à côté seulement si les numéros inscrits dans les coins de ces deux triangles coincident, comme le montre l'illustration suivante : \begin{figure}[h] -\includegraphics[scale=0.3]{Triangle 1.png} +\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 1.png} \centering \end{figure} Dans la première partie de ce problème, on s'intéresse à une variante plus simple des triominos : les trominos modifiés, dans laquelle les numéros sont inscrits non pas sur les coins du triangle mais sur les côtés du triangle. \begin{figure}[h!] -\includegraphics[scale=0.3]{Triangle 2.png} +\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 2.png} \centering \end{figure} @@ -31,7 +31,7 @@ Nous allons étudier la faisabilité de la construction de certaines formes géo Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariantes par rotation, c'est-à-dire que tourner une pièce redonne la même pièce mais les pièces ne sont pas invariantes par symétrie, c'est-à-dire que retourner une pièce ne redonne pas la même pièce. Ainsi, les deux pièces ci-dessous sont considérés comme deux pièces distinctes. \begin{figure}[h!] -\includegraphics[scale=0.3]{Symetrie.png} +\includegraphics[scale=0.5]{src/Symetrie.png} \centering \end{figure} From 665b303b6c1ca5e0d0f2ef1fa6c53f11595ce0ba Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Nathana=C3=ABl?= Date: Tue, 12 Dec 2023 23:20:15 +0100 Subject: [PATCH 04/11] =?UTF-8?q?sujet=20d=C3=A9pollution=20seine?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/depollution_seine.tex | 231 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 222 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/src/depollution_seine.tex b/src/depollution_seine.tex index d2a5507..96a38d6 100644 --- a/src/depollution_seine.tex +++ b/src/depollution_seine.tex @@ -1,27 +1,240 @@ + +\documentclass[a4paper,12pt]{amsart} + +% Variables +\newcommand{\numeroTournoi}{13} +\newcommand{\version}{1.0} + +% Encodage +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[french]{babel} +\renewcommand{\contentsname}{Table des matières} + +% Titres +\newcommand{\tfjm}{$\mathbb{TFJM}^2$} +\newcommand{\titre}{Probl\`emes du \numeroTournoi\textsuperscript{\`eme} \tfjm} +\newcommand{\titreLong}{Problèmes du \numeroTournoi\textsuperscript{ème} Tournoi Français \\ des Jeunes Mathématiciennes et Mathématiciens} +\title[\titre]{TFJM\textsuperscript{2} 2022: Fiches du jury} +\author{version \version\, mise à jour le \today} + +% Mise en page +\usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry} +\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd,mathrsfs,mathtools,stmaryrd,mathptmx} +\usepackage[backref,colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=black,pdftex]{hyperref} +\usepackage{xfrac} +\usepackage{array} +\usepackage[all]{xy} +\usepackage{paralist} +\usepackage{lmodern} +\usepackage{upgreek} +\usepackage{multicol} +\usepackage{caption} +\usepackage{enumitem} +\usepackage{xspace} +\usepackage{subcaption} + +\usepackage{xcolor} +\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}} + +% FancyHeader +\usepackage{fancyhdr} +\pagestyle{fancy} +\fancyhead[L]{\textsc{\titre}} +\fancyhead[R]{\thepage} +\fancyfoot[C]{ } +\setlength{\headheight}{15.5pt} + +% TIKZ +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{decorations} +\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} +\usetikzlibrary{shapes.geometric} +\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{arrows} +\usetikzlibrary{shapes.misc} +\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} + +% Commandes Benoit +\usepackage[nomessages]{fp} +\newcommand{\orangeAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{red} #1}} +\newcommand{\bleuAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{bleuAnimath} #1}} + +% Commandes mathématiques +\renewcommand{\leq}{\leqslant} +\renewcommand{\geq}{\geqslant} +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\C}{\mathbb{C}} + +% Questions +\newcounter{question} +\newcommand{\nextpb}{\bigskip \begin{center} $\ast \; \ast \; \ast$ \end{center} \setcounter{question}{0}} +\newcommand{\nextPB}{\begin{center}$\ast~~\ast~~\ast$\end{center}\newpage\setcounter{question}{0}} +\newcommand{\q}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\,} +\newcommand{\qnospace}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\, \vspace*{-6.5mm}} +\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} +\newtheorem{thm}{Théorème}[section] +\newtheorem{lemme}{Lemme}[section] +\newtheorem{rem}{Remarque}[section] +\newtheorem{ques}{Question}[section] + +%----------------------------------------------------------------------------------------------- + +% Couleurs officielles: +\definecolor{orangeAnimath}{RGB}{234,94,0} +\definecolor{bleuAnimath}{RGB}{0,159,227} + +\begin{document} + +\newgeometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm} +\setlength{\footskip}{14.0pt} +\maketitle +\thispagestyle{empty} + +\textbf{Avertissement :} +Le contenu de ces fiches doit rester confidentiel jusqu'au tournoi national ! Même si vous encadrez une équipe, vous ne devez pas diffuser son contenu aux élèves au risque de dénaturer le tournoi ! + +\tableofcontents + +\newpage + \section{Dépollution de la Seine} -Pour préparer les Jeux Olympiques de 2024, les organisateurs ont besoin de dépolluer des bassins alimentés par la Seine. Une équipe de biologistes a découvert une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Pour éviter tout risque pour les baigneurs, ces bactéries ne survivent et ne se multiplient que dans l'eau polluée. Les bactéries dans l'eau propre meurent instantanément. Les bactéries dans l'eau polluée meurent au bout de $D$ jours (où $D$ est un entier strictement positif). Les bactéries dans l'eau polluée dépolluent l'eau en exactement $E$ jours (où $E$ est un entier strictement positif). Chaque jour, les bactéries dans l'eau polluée se multiplient. Si les bactéries occupaient un volume $v(T)$ d'eau le jour $T$, alors le jour $T+1$, de nouvelles bactéries naissent et occupent un volume d'eau égal à $v(T+1) = K v(T)$ (où $K$ est un réel strictement positif). Si $K v(T) > V$, on a alors $v(T+1) = V$ et le bassin est dit entièrement dépollué. On ne sait pas si l'eau que les nouvelles bactéries occuperont était déjà dépolluée, occupée par des bactéries ou non. +Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau +Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v(0)\in ]0,V[$. Le jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), on note $v(T)$ le volume occupé par les bactéries. La population de bactéries se comporte de la manière suivante: +\begin{itemize} + %\item Le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), les bactéries occupent un volume $v(T)\in[0,V]$; + \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre; + \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction). Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin; + \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le jour $T+1$. +\end{itemize} -Au départ, un bassin de $V \, m^3$ d'eau ne contient que de l'eau polluée et on y place des bactéries dans un volume $v(0) < V$ d'eau. +Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On pose: $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. -On suppose pour l'instant $D=E=1$. +\q Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0 0$ (car on considère que le terme en $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable). + +\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau polluée, puis dans de l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas-là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ? + +\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau propre, puis dans de l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire. +\begin{enumerate} +\item Étudier l'évolution de la suite $v(T)$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle? +\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? +\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? +\item Étudier les cas $K>4$ et $2K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ? +%\begin{enumerate} +%\item Dans un premier temps, +%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? +%\end{enumerate} + + + + + +\q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $01$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si +\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\] +Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est +\[ +\left\{ +\begin{array}{ll} +\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\ +\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\ +\end{array}\right. +\] + +b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau + +(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$). + +(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$. + +(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra. + +(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer. + +(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ? + +Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$. + +\q (moyen-difficile) + +\q +\begin{enumerate} +\item $K\in[0,4]$ +\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale} +\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations. +\end{enumerate} + +\q (moyen) + +\q (difficile) + +\q (ouvert) b) un peu ambiguë? + +\nextPB + +\end{document} From e1a9a9a8e3652534df4e6748409bcb41bee8c04f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 14 Dec 2023 15:49:48 +0100 Subject: [PATCH 05/11] creation de la fiche probleme de depollution de la seine --- fiches/depollution_seine-fiche.tex | 45 +++++++- index.tex | 2 +- src/depollution_seine.tex | 171 +---------------------------- src/triominos.tex | 7 -- 4 files changed, 46 insertions(+), 179 deletions(-) diff --git a/fiches/depollution_seine-fiche.tex b/fiches/depollution_seine-fiche.tex index df50ad4..e111171 100644 --- a/fiches/depollution_seine-fiche.tex +++ b/fiches/depollution_seine-fiche.tex @@ -1,5 +1,46 @@ \section*{Eléments de réponse} -\q (Facile) Première réponse +\q Notons plutôt $w(T) = v(T)/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K w(T)$ et $u(T)$ la proportion d'eau dépolluée. On a $u(0) = 0$ et $u(T) = \sum_{n=0}^{T-1} w(n)$. On a $K w(T) - u(T) \leqslant w(T+1) \leqslant K w(T)$. -\q (Moyen) Deuxieme réponse +a) (facile) Le cas d'égalité est réalisé pour la borne supérieure si les bactéries filles naissent chaque fois dans l'eau polluée. + +Si $K=1$, ça donne $w(T) \leqslant w(0)$ et $u(T) \leqslant T w(0)$. +Si $K \neq 1$, alors $w(T) \leqslant K^T w(0)$ et $u(T) \leqslant w(0) \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si +\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\] +Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est +\[ +\left\{ +\begin{array}{ll} +\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\ +\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\ +\end{array}\right. +\] + +b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau + +(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$). + +(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$. + +(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra. + +(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer. + +(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ? + +Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$. + +\q (moyen-difficile) + +\q +\begin{enumerate} +\item $K\in[0,4]$ +\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale} +\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations. +\end{enumerate} + +\q (moyen) + +\q (difficile) + +\q (ouvert) b) un peu ambiguë? diff --git a/index.tex b/index.tex index 50d943c..5863720 100644 --- a/index.tex +++ b/index.tex @@ -2,7 +2,7 @@ % Variables \newcommand{\numeroTournoi}{13} -\newcommand{\version}{1.3} +\newcommand{\version}{1.0} % Encodage \usepackage[utf8]{inputenc} diff --git a/src/depollution_seine.tex b/src/depollution_seine.tex index 96a38d6..0eea081 100644 --- a/src/depollution_seine.tex +++ b/src/depollution_seine.tex @@ -1,106 +1,3 @@ - -\documentclass[a4paper,12pt]{amsart} - -% Variables -\newcommand{\numeroTournoi}{13} -\newcommand{\version}{1.0} - -% Encodage -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage[french]{babel} -\renewcommand{\contentsname}{Table des matières} - -% Titres -\newcommand{\tfjm}{$\mathbb{TFJM}^2$} -\newcommand{\titre}{Probl\`emes du \numeroTournoi\textsuperscript{\`eme} \tfjm} -\newcommand{\titreLong}{Problèmes du \numeroTournoi\textsuperscript{ème} Tournoi Français \\ des Jeunes Mathématiciennes et Mathématiciens} -\title[\titre]{TFJM\textsuperscript{2} 2022: Fiches du jury} -\author{version \version\, mise à jour le \today} - -% Mise en page -\usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry} -\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd,mathrsfs,mathtools,stmaryrd,mathptmx} -\usepackage[backref,colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=black,pdftex]{hyperref} -\usepackage{xfrac} -\usepackage{array} -\usepackage[all]{xy} -\usepackage{paralist} -\usepackage{lmodern} -\usepackage{upgreek} -\usepackage{multicol} -\usepackage{caption} -\usepackage{enumitem} -\usepackage{xspace} -\usepackage{subcaption} - -\usepackage{xcolor} -\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}} - -% FancyHeader -\usepackage{fancyhdr} -\pagestyle{fancy} -\fancyhead[L]{\textsc{\titre}} -\fancyhead[R]{\thepage} -\fancyfoot[C]{ } -\setlength{\headheight}{15.5pt} - -% TIKZ -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{decorations} -\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} -\usetikzlibrary{shapes.geometric} -\usetikzlibrary{calc} -\usetikzlibrary{arrows} -\usetikzlibrary{shapes.misc} -\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} - -% Commandes Benoit -\usepackage[nomessages]{fp} -\newcommand{\orangeAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{red} #1}} -\newcommand{\bleuAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{bleuAnimath} #1}} - -% Commandes mathématiques -\renewcommand{\leq}{\leqslant} -\renewcommand{\geq}{\geqslant} -\newcommand{\N}{\mathbb{N}} -\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} -\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} -\newcommand{\R}{\mathbb{R}} -\newcommand{\C}{\mathbb{C}} - -% Questions -\newcounter{question} -\newcommand{\nextpb}{\bigskip \begin{center} $\ast \; \ast \; \ast$ \end{center} \setcounter{question}{0}} -\newcommand{\nextPB}{\begin{center}$\ast~~\ast~~\ast$\end{center}\newpage\setcounter{question}{0}} -\newcommand{\q}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\,} -\newcommand{\qnospace}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\, \vspace*{-6.5mm}} -\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} -\newtheorem{thm}{Théorème}[section] -\newtheorem{lemme}{Lemme}[section] -\newtheorem{rem}{Remarque}[section] -\newtheorem{ques}{Question}[section] - -%----------------------------------------------------------------------------------------------- - -% Couleurs officielles: -\definecolor{orangeAnimath}{RGB}{234,94,0} -\definecolor{bleuAnimath}{RGB}{0,159,227} - -\begin{document} - -\newgeometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm} -\setlength{\footskip}{14.0pt} -\maketitle -\thispagestyle{empty} - -\textbf{Avertissement :} -Le contenu de ces fiches doit rester confidentiel jusqu'au tournoi national ! Même si vous encadrez une équipe, vous ne devez pas diffuser son contenu aux élèves au risque de dénaturer le tournoi ! - -\tableofcontents - -\newpage - \section{Dépollution de la Seine} Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau @@ -159,82 +56,18 @@ On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bass \medskip - - - \q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ? + %\begin{enumerate} %\item Dans un premier temps, %\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? %\end{enumerate} - - - - \q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $01$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si -\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\] -Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est -\[ -\left\{ -\begin{array}{ll} -\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\ -\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\ -\end{array}\right. -\] - -b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau - -(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$). - -(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$. - -(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra. - -(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer. - -(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ? - -Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$. - -\q (moyen-difficile) - -\q -\begin{enumerate} -\item $K\in[0,4]$ -\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale} -\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations. -\end{enumerate} - -\q (moyen) - -\q (difficile) - -\q (ouvert) b) un peu ambiguë? - -\nextPB - -\end{document} diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index d2bed65..d003920 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -37,9 +37,6 @@ Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariante On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe. - -\subsection{Partie 1: Triominos modifiés} - Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact. \q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ? @@ -48,8 +45,6 @@ Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère n \q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ? -\subsection{Partie 2 : Sous-ensemble de triominos} - On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents. \q 1) Combien y a-t-il de pièces ? @@ -61,8 +56,6 @@ c) $n$ impair \q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? -\subsection{Partie 3 : Triomino classique} - On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces. \q 1) Combien y a-t-il de pièces ? From e9fff7b4833f65242fcde8c5140ad0f25f15e5c3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 14 Dec 2023 16:53:49 +0100 Subject: [PATCH 06/11] =?UTF-8?q?mise=20=C3=A0=20jour=20des=20rebonds=20?= =?UTF-8?q?=C3=A9tranges?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/rebonds_etranges.tex | 26 ++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 22 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/src/rebonds_etranges.tex b/src/rebonds_etranges.tex index e8e6d49..48ac288 100644 --- a/src/rebonds_etranges.tex +++ b/src/rebonds_etranges.tex @@ -1,7 +1,25 @@ -\section{Rebonds étranges} +\section{Electron libre} -Énoncé +Le petit Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1. -\q Première question +Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron. -\q Deuxième question +\q Le canon à électrons est situé en un point $A$ du plan. Nicolas peut choisir sa direction initile. Il faut amener l'électron tiré jusqu'en un point $B$. +\begin{enumerate} +\item Nicolas peut-il toujours guider l'électron du point $A$ au point $B$ ? Si oui, combien se fois au minimum doit-il appuyer sur le bouton, en fonction de la distance qui sapére $A$ et $B$ ? +\item Quelle est la distance minimale parcourue par l'électron pour aller de $A$ à $B$ ? +\end{enumerate} + +Nicolas dessine un cercle de rayon $r$ et place le canon à électons sur le bord du cercle , pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle. + +(Faire une figure) + +\q Combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction du rayon du cercle ? (Ce nombre est potentiellement infini). + +\q Nicolas dispose $N$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. Quel est le plus petit entier $n$ tel que quelle que soit la position des $N$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $N$ points en appuyant au plus $n$ fois sur le bouton ? Et si le cercle est de rayon $R>0$ quelconque ? + +Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un boutons pour faire faire demi-tour à l'électrons mais de miroirs sur lesquels l'électron rebondit, conformément aux lois de la physique classique (le vecteur vitesse en sortie et le symétrique du vecteur vitesse en entrée par rapport au miroir). + +(faire un dessin) + +\q Nicolas dispose $N$ miroirs de sorte qu'ils forment les côtés d'un polygone régulier à $N$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $1$. Il peut placer le canon à électrons n'importe où dans le polygone. Il numérote les côtés de $1$ à $N$. Pour quels $N$ Nicolas peut-il faire en sorte que les côtés sur lesquels l'électron rebondit From d071e9bf1897626c11b5511f1fac46bb935532a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 14 Dec 2023 18:48:18 +0100 Subject: [PATCH 07/11] ajout d'une figure aux rebonds etranges --- src/rebonds_etranges.tex | 32 ++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 28 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/src/rebonds_etranges.tex b/src/rebonds_etranges.tex index 48ac288..50cdd2a 100644 --- a/src/rebonds_etranges.tex +++ b/src/rebonds_etranges.tex @@ -1,9 +1,27 @@ -\section{Electron libre} +\section{Électron libre} Le petit Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1. Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron. +La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électron. Le rectangle bleu est le canon à électrons, la flèche bleue est la direction initiale, les point oranges sont les demi-tours provoqués par Nicolas. + +\begin{figure}[!ht] + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw[->,bleuAnimath,line width=2.5pt] (0,0) -- ++(1,0); + \draw[black,fill=bleuAnimath] (0,-0.2) rectangle ++(-0.7,0.4); + \draw[very thick] (0,0) arc (-90:0:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$} + node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-180:45:1) node[pos=0.4,sloped]{$\blacktriangleright$} + node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-135:-90:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$} + node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (90:180:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$} + node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (0:120:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$} + node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-60:60:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleright$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Un exemple de trajectoire de l'électron} + \label{fig:traj_elec} +\end{figure} + \q Le canon à électrons est situé en un point $A$ du plan. Nicolas peut choisir sa direction initile. Il faut amener l'électron tiré jusqu'en un point $B$. \begin{enumerate} \item Nicolas peut-il toujours guider l'électron du point $A$ au point $B$ ? Si oui, combien se fois au minimum doit-il appuyer sur le bouton, en fonction de la distance qui sapére $A$ et $B$ ? @@ -12,14 +30,20 @@ Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l' Nicolas dessine un cercle de rayon $r$ et place le canon à électons sur le bord du cercle , pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle. -(Faire une figure) +(faire un dessin) \q Combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction du rayon du cercle ? (Ce nombre est potentiellement infini). \q Nicolas dispose $N$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. Quel est le plus petit entier $n$ tel que quelle que soit la position des $N$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $N$ points en appuyant au plus $n$ fois sur le bouton ? Et si le cercle est de rayon $R>0$ quelconque ? -Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un boutons pour faire faire demi-tour à l'électrons mais de miroirs sur lesquels l'électron rebondit, conformément aux lois de la physique classique (le vecteur vitesse en sortie et le symétrique du vecteur vitesse en entrée par rapport au miroir). +Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un boutons pour faire faire demi-tour à l'électrons mais de miroirs sur lesquels l'électron rebondit, conformément aux lois de la physique classique (le vecteur vitesse en sortie et le symétrique du vecteur vitesse en entrée par rapport au miroir). Il les dispose de sorte à former un polygone convexe (ie. dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$. On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone. + +Un polygone convexe est dit \emph{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du ploygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, en numérotant les côtés du ploygone $1$,...,$M$ dans n'importe quel ordre, il est possible de placer le canon à électrons de sorte qu'il rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ puis... puis $M$. (faire un dessin) -\q Nicolas dispose $N$ miroirs de sorte qu'ils forment les côtés d'un polygone régulier à $N$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $1$. Il peut placer le canon à électrons n'importe où dans le polygone. Il numérote les côtés de $1$ à $N$. Pour quels $N$ Nicolas peut-il faire en sorte que les côtés sur lesquels l'électron rebondit +\q Pour quels $M$ le polygone régulier à $M$ côtés inscrit dans un cercle est-il admirable ? + +\q Pour quels $M\geq 3$ Nicolas peut-il construire une polygone admirable à $M$ côtés ? + +\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. \ No newline at end of file From 8b0d746be4c3bc6cb1f3457d42702f41756603e1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 14 Dec 2023 19:32:23 +0100 Subject: [PATCH 08/11] ajout des prenoms dans pieces truquees --- src/piece_truquee.tex | 42 +++++++++++++++++++++--------------------- 1 file changed, 21 insertions(+), 21 deletions(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 8157d01..4d934fa 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -1,61 +1,61 @@ \section{Pièces truquées} -A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. +Félix et Félicie jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Félicie essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Félicie fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Félicie fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. Un exemple de partie, pour $n=2$, est : \small \begin{itemize}[itemsep=0pt] - \item A tire pile - \item B prédit face - \item A tire face - \item B prédit pile - \item A tire face + \item Félix tire pile + \item Félicie prédit face + \item Félix tire face + \item Félicie prédit pile + \item Félix tire face \end{itemize} \normalsize -Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse. +Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse. -\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est : +\q Félicie gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est : \begin{enumerate} \item toujours pile ? \item le résultat du lancer précédent ? \item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ? \end{enumerate} -\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si : +\q Le gain de Félicie si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si : \begin{enumerate} - \item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? - \item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? + \item elle gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? + \item elle gagne autant de points qu'elle a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? \end{enumerate} -Maintenant B veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$. +Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$. -Une \emph{stratégie} pour B est une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. +Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. \q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? -\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si : +\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ et quel est-il si : \begin{enumerate} \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ? \item $\mathcal{P}=[0,1]$ ? \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? \end{enumerate} -A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. +A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. -\q Quel est l'espérance du gain de B pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ? +\q Quel est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ? \medskip -B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. A lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. +Félicie n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Félicie peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Félicie gagne $m$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. \q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? \medskip -Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$. +Désormais, Félix possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. Félicie connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$. -\q B doit deviner quel $K$ a été choisi par A. +\q Félicie doit deviner quel $K$ a été choisi par Félix. \begin{enumerate} - \item Il annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ? - \item Après chaque lancer, $B$ peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. S'il a raison, il gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si il fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m Date: Thu, 14 Dec 2023 19:42:50 +0100 Subject: [PATCH 09/11] ajout des pointilles sur la figure des rebonds etranges --- src/rebonds_etranges.tex | 7 ++++--- 1 file changed, 4 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/src/rebonds_etranges.tex b/src/rebonds_etranges.tex index 50cdd2a..daa8fd3 100644 --- a/src/rebonds_etranges.tex +++ b/src/rebonds_etranges.tex @@ -4,19 +4,20 @@ Le petit Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron. -La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électron. Le rectangle bleu est le canon à électrons, la flèche bleue est la direction initiale, les point oranges sont les demi-tours provoqués par Nicolas. +La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électron. Le rectangle bleu est le canon à électrons, la flèche bleue est la direction initiale, les point oranges sont les demi-tours provoqués par Nicolas. Les pointillés montrent le prolongement de deux arcs de cercle décrits par l'électron. \begin{figure}[!ht] \centering \begin{tikzpicture} \draw[->,bleuAnimath,line width=2.5pt] (0,0) -- ++(1,0); - \draw[black,fill=bleuAnimath] (0,-0.2) rectangle ++(-0.7,0.4); \draw[very thick] (0,0) arc (-90:0:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$} node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-180:45:1) node[pos=0.4,sloped]{$\blacktriangleright$} node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-135:-90:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$} node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (90:180:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$} node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (0:120:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$} - node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-60:60:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleright$}; + node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-60:60:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleright$} node(fin){}; + \draw[thick,gray,dashed] (fin) arc (60:300:1) arc (120:360:1); + \draw[black,fill=bleuAnimath] (0,-0.2) rectangle ++(-0.7,0.4); \end{tikzpicture} \caption{Un exemple de trajectoire de l'électron} \label{fig:traj_elec} From 9981d7946d13c93ac4204863901abe8842de35bd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 14 Dec 2023 20:40:50 +0100 Subject: [PATCH 10/11] mise a jour du numero du tournoi --- index.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/index.tex b/index.tex index 5863720..8516d50 100644 --- a/index.tex +++ b/index.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[a4paper,12pt]{amsart} % Variables -\newcommand{\numeroTournoi}{13} +\newcommand{\numeroTournoi}{14} \newcommand{\version}{1.0} % Encodage From 8ce37c9a5b51abb83815b4af6a37b5f25f4bf19c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: xavierpige33 Date: Fri, 15 Dec 2023 23:42:18 +0100 Subject: [PATCH 11/11] Enrobage + figure tikz --- src/triominos.tex | 132 ++++++++++++++++++++++++++++++++-------------- 1 file changed, 91 insertions(+), 41 deletions(-) diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index d003920..64c2b37 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -1,67 +1,117 @@ \section{Triominos} -Énoncé - \graphicspath{ {./images/} } -On considère un pavage triangulaire du plan comme illustré ci-dessous. - +Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté. +\begin{center} \begin{figure}[h] -\includegraphics[scale=0.4]{src/Pavage.png} -\centering +\begin{tikzpicture} +\draw (0,0)--(2,0)--(1,1.732)--cycle; +\draw (1,.2) node{$1$}; +\draw (.65,.766) node{$3$}; +\draw (1.35,.766) node{$3$}; +\end{tikzpicture} + +\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1, 3$ et $3$} \end{figure} +\end{center} -Nous allons placer sur ce pavage des pièces de triomino qui sont des triangles équilatéraux sur lesquels sont inscrits dans chaque coin des numéros non nécéssairement distincts parmi $1, \dots, n$ où $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixé. -Deux triominos peuvent se trouver à côté seulement si les numéros inscrits dans les coins de ces deux triangles coincident, comme le montre l'illustration suivante : +Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident. +\begin{center} \begin{figure}[h] -\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 1.png} -\centering +\begin{tikzpicture} +\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle; +\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle; +\draw (1,.2) node{$2$}; +\draw (.65,.766) node{$2$}; +\draw (1.35,.766) node{$2$}; +\draw (3,.2) node{$3$}; +\draw (2,1.932) node{$1$}; +\draw (1.65,2.498) node{$2$}; +\draw (2.35,2.498) node{$1$}; +\draw (2,1.532) node{$1$}; +\draw (1.65,.966) node{$2$}; +\draw (2.35,.966) node{$2$}; +\draw (2.65,.766) node{$2$}; +\draw (3.35,.766) node{$1$}; +\end{tikzpicture} +\caption{Exemple de configuration possible} \end{figure} +\end{center} -Dans la première partie de ce problème, on s'intéresse à une variante plus simple des triominos : les trominos modifiés, dans laquelle les numéros sont inscrits non pas sur les coins du triangle mais sur les côtés du triangle. +Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino. Ainsi, les deux triominos ci-dessous sont considérés comme distincts. -\begin{figure}[h!] -\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 2.png} -\centering +\begin{center} +\begin{figure}[h] +\begin{tikzpicture} +\draw[thick, orangeAnimath] (0,0)--(4,0)--(3,1.732)--(2,0)--(1,1.732)--cycle; +\draw[thick, bleuAnimath] (4,0)--(6,0)--(5,1.732)--cycle; +\draw (1,.2) node{$2$}; +\draw (3,.2) node{$1$}; +\draw (.65,.766) node{$1$}; +\draw (1.35,.766) node{$3$}; +\draw (2.65,.766) node{$3$}; +\draw (3.35,.766) node{$2$}; +\draw (5,.2) node{$2$}; +\draw (4.65,.766) node{$1$}; +\draw (5.35,.766) node{$3$}; +\end{tikzpicture} +\caption{Les deux triominos orange sont identiques, mais le triomino bleu est différent} \end{figure} +\end{center} -Nous allons étudier la faisabilité de la construction de certaines formes géométriques à l'aide de ces triominos modifiés. La seconde partie et la troixième partie s'intéresse à des propriétés analogues pour le jeu du triomino classique tel que décrit précédemment. +Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$. -Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariantes par rotation, c'est-à-dire que tourner une pièce redonne la même pièce mais les pièces ne sont pas invariantes par symétrie, c'est-à-dire que retourner une pièce ne redonne pas la même pièce. Ainsi, les deux pièces ci-dessous sont considérés comme deux pièces distinctes. +\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ? -\begin{figure}[h!] -\includegraphics[scale=0.5]{src/Symetrie.png} -\centering +Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante : + +\begin{center} +\begin{figure}[h] +\begin{tikzpicture} +\draw (0,0)--(8,0); +\draw (1,1.766)--(7,1.766); +\draw (0,0)--(1,1.766)--(2,0)--(3,1.766)--(4,0)--(5,1.766)--(6,0)--(7,1.766)--(8,0); +\end{tikzpicture} +\caption{Exemple de disposition s'il y a $7$ triominos} \end{figure} +\end{center} -On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe. +\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=1$ ? $n=2$ ? $n=3$ ? -Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact. +b) Et pour $n$ quelconque ? -\q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ? +Une configuration est dite \textit{connexe} si, pour tout couple de triominos, il existe un chemin dans les triominos qui va de l'un à l'autre. Un chemin est une suite de triominos adjacents, et dire que deux triominos sont adjacents signifie qu'ils ont un côté commun. -\q 2.a) Réaliser une ligne droite utilisant toutes les pièces pour les cas : n = 2, 3 et 4. +\q Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? -\q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ? +Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque sommet. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident. -On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents. +\begin{center} +\begin{figure}[h] +\begin{tikzpicture} +\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle; +\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle; +\draw (.3,.2) node{$2$}; +\draw (1.7,.2) node{$4$}; +\draw (1,1.366) node{$2$}; +\draw (2.3,.2) node{$4$}; +\draw (3.7,.2) node{$2$}; +\draw (3,1.366) node{$1$}; +\draw (2,.4) node{$4$}; +\draw (1.35,1.516) node{$2$}; +\draw (2.65,1.516) node{$1$}; +\draw (1.3,1.966) node{$2$}; +\draw (2.7,1.966) node{$1$}; +\draw (2,3.064) node{$3$}; +\end{tikzpicture} +\caption{Exemple de configuration possible} +\end{figure} +\end{center} -\q 1) Combien y a-t-il de pièces ? +\q Reprendre les questions précédentes dans ce cas. -\q 2) Existe t-il une ligne droite avec toutes les pièces si : -a) $n = 2$ -b) $n \geq 4$ pair -c) $n$ impair +\q Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ? -\q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? - -On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces. - -\q 1) Combien y a-t-il de pièces ? - -\q 2) Existe-t-il toujours une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? - -\q 3) Existe-t-il toujours une ligne droite utilisant toutes les pièces ? - -\q 4) Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ? +\q Proposez et étudiez d'autres pistes de recherche. \ No newline at end of file