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 \section{Triominos}
 
-Énoncé
-
 \graphicspath{ {./images/} }
 
-On considère un pavage triangulaire du plan comme illustré ci-dessous. 
+Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté.
-
+\begin{center}
 \begin{figure}[h]
-\includegraphics[scale=0.4]{src/Pavage.png}
+\begin{tikzpicture}
-\centering
+\draw (0,0)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
+\draw (1,.2) node{$1$};
+\draw (.65,.766) node{$3$};
+\draw (1.35,.766) node{$3$};
+\end{tikzpicture}
+
+\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1, 3$ et $3$}
 \end{figure}
+\end{center}
 
-Nous allons placer sur ce pavage des pièces de triomino qui sont des triangles équilatéraux sur lesquels sont inscrits dans chaque coin des numéros non nécéssairement distincts parmi $1, \dots, n$ où $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixé. 
+Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident.
-Deux triominos peuvent se trouver à côté seulement si les numéros inscrits dans les coins de ces deux triangles coincident, comme le montre l'illustration suivante :
 
+\begin{center}
 \begin{figure}[h]
-\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 1.png}
+\begin{tikzpicture}
-\centering
+\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
+\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
+\draw (1,.2) node{$2$};
+\draw (.65,.766) node{$2$};
+\draw (1.35,.766) node{$2$};
+\draw (3,.2) node{$3$};
+\draw (2,1.932) node{$1$};
+\draw (1.65,2.498) node{$2$};
+\draw (2.35,2.498) node{$1$};
+\draw (2,1.532) node{$1$};
+\draw (1.65,.966) node{$2$};
+\draw (2.35,.966) node{$2$};
+\draw (2.65,.766) node{$2$};
+\draw (3.35,.766) node{$1$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Exemple de configuration possible}
 \end{figure}
+\end{center}
 
-Dans la première partie de ce problème, on s'intéresse à une variante plus simple des triominos : les trominos modifiés, dans laquelle les numéros sont inscrits non pas sur les coins du triangle mais sur les côtés du triangle. 
+Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino. Ainsi, les deux triominos ci-dessous sont considérés comme distincts. 
 
-\begin{figure}[h!]
+\begin{center}
-\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 2.png}
+\begin{figure}[h]
-\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw[thick, orangeAnimath] (0,0)--(4,0)--(3,1.732)--(2,0)--(1,1.732)--cycle;
+\draw[thick, bleuAnimath] (4,0)--(6,0)--(5,1.732)--cycle;
+\draw (1,.2) node{$2$};
+\draw (3,.2) node{$1$};
+\draw (.65,.766) node{$1$};
+\draw (1.35,.766) node{$3$};
+\draw (2.65,.766) node{$3$};
+\draw (3.35,.766) node{$2$};
+\draw (5,.2) node{$2$};
+\draw (4.65,.766) node{$1$};
+\draw (5.35,.766) node{$3$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Les deux triominos orange sont identiques, mais le triomino bleu est différent}
 \end{figure}
+\end{center}
 
-Nous allons étudier la faisabilité de la construction de certaines formes géométriques à l'aide de ces triominos modifiés. La seconde partie et la troixième partie s'intéresse à des propriétés analogues pour le jeu du triomino classique tel que décrit précédemment. 
+Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$.
 
-Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariantes par rotation, c'est-à-dire que tourner une pièce redonne la même pièce mais les pièces ne sont pas invariantes par symétrie, c'est-à-dire que retourner une pièce ne redonne pas la même pièce. Ainsi, les deux pièces ci-dessous sont considérés comme deux pièces distinctes. 
+\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ?
 
-\begin{figure}[h!]
+Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante :
-\includegraphics[scale=0.5]{src/Symetrie.png}
+
-\centering
+\begin{center}
+\begin{figure}[h]
+\begin{tikzpicture}
+\draw (0,0)--(8,0);
+\draw (1,1.766)--(7,1.766);
+\draw (0,0)--(1,1.766)--(2,0)--(3,1.766)--(4,0)--(5,1.766)--(6,0)--(7,1.766)--(8,0);
+\end{tikzpicture}
+\caption{Exemple de disposition s'il y a $7$ triominos}
 \end{figure}
+\end{center}
 
-On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe.
+\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=1$ ? $n=2$ ? $n=3$ ?
 
-Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact.
+b) Et pour $n$ quelconque ?
 
-\q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ?
+Une configuration est dite \textit{connexe} si, pour tout couple de triominos, il existe un chemin dans les triominos qui va de l'un à l'autre. Un chemin est une suite de triominos adjacents, et dire que deux triominos sont adjacents signifie qu'ils ont un côté commun.
 
-\q 2.a) Réaliser une ligne droite utilisant toutes les pièces pour les cas : n = 2, 3 et 4.
+\q Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
 
-\q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ?
+Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque sommet. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident.
 
-On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents.
+\begin{center}
+\begin{figure}[h]
+\begin{tikzpicture}
+\draw (0,0)--(4,0)--(2,3.464)--cycle;
+\draw (2,0)--(3,1.732)--(1,1.732)--cycle;
+\draw (.3,.2) node{$2$};
+\draw (1.7,.2) node{$4$};
+\draw (1,1.366) node{$2$};
+\draw (2.3,.2) node{$4$};
+\draw (3.7,.2) node{$2$};
+\draw (3,1.366) node{$1$};
+\draw (2,.4) node{$4$};
+\draw (1.35,1.516) node{$2$};
+\draw (2.65,1.516) node{$1$};
+\draw (1.3,1.966) node{$2$};
+\draw (2.7,1.966) node{$1$};
+\draw (2,3.064) node{$3$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Exemple de configuration possible}
+\end{figure}
+\end{center}
 
-\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
+\q Reprendre les questions précédentes dans ce cas.
 
-\q 2) Existe t-il une ligne droite avec toutes les pièces si :
+\q Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?
-a) $n = 2$ 
-b) $n \geq 4$ pair 
-c) $n$ impair 
 
-\q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
+\q Proposez et étudiez d'autres pistes de recherche.
-
-On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces.
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-\q 1) Combien y a-t-il de pièces ?
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-\q 2) Existe-t-il toujours une configuration connexe utilisant toutes les pièces ?
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-\q 3) Existe-t-il toujours une ligne droite utilisant toutes les pièces ?
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-\q 4) Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ?