mise a jour piece truquee

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-\section{Pièce truquée}
+\section{Pièces truquées}
 
 A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. A lance $N$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants). Avant chaque lancer, B essaye de prédire le résultat.
 
@@ -15,7 +15,31 @@ A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tomb
 	\item Il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1point pour la première, deux pour la deuxième...) ?
 \end{enumerate}
 
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 \q Maintenant $B$ veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connait pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in P$ où $P$ est une partie de $[0,1]$. Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $1,2,...,m-1$. la question 1 donne donc trois exembles de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain moyen minimal} pour $\mathcal{S}$ est $\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$.
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+\q Si le joueur B connaît p, quelle est la meilleure stratégie, en fonction de p ? Existe-t-il une stratégie indépendante de p qui soit meilleure que toutes les autres quel que soit p ?
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+A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièce qui tombent sur pile avec proba p1 et p2 respectivement.
+
+\q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie.
+\begin{enumerate}
+	\item Combien gagne-t-il en moyenne pour les stratégies de la question 1 ?
+	\item Quelle est la meilleure stratégie dans ce cadre ? (Celle qui maximise le gain moyen.)
+\end{enumerate}
+
+\q Maintenant, le joueur B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie.
+\begin{enumerate}
+	\item Le joueur A annonce ce qu'il pense être la pièce choisie à la fin des N lancers et gagne 1 point si sa supposition est bonne. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ?
+	\item Le joueur A annonce la pièce choisie en cours de route et gagne N-k points s'il fait la bonne prédiction après le k-ieme tirage. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ?
+\end{enumerate}
+
+\q Maintenant A commence par tirer la pièce 1 puis, à partir du K-ième lancer, tire la pièce 2, où K est choisi uniformément au hasard. B essaye de deviner K et gagne N - |K-K'| points, où K' est sa prédiction.
+\begin{enumerate}
+	\item Il annonce sa prédiction à la fin des N lancers. Quelle est la meilleure stratégie ? Quelle est alors son gain moyen ?
+	\item Il fait sa prédiction après le lancer K'. Quel est la meilleure stratégie ? Quel est son gain moyen ?
+\end{enumerate}
+>>>>>>> f1e3b513ff64eccbeb656b43115022b5252c2e21
 
 \begin{enumerate}
 	\item Si $P=[0,1]$, quel est le gain moyen minimal des stratégie a,b,c de la question 1 ?