From 444aa41fe9153c340c9f94ba644352f192bf5f29 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nicolas Date: Wed, 20 Dec 2023 21:27:51 +0100 Subject: [PATCH 1/4] =?UTF-8?q?Maj=20apr=C3=A8s=20r=C3=A9union=2020/12?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Restent figure et débat cookie/brioche/... --- src/brioches.tex | 81 +++++++++++++++++++++++++++--------------------- 1 file changed, 45 insertions(+), 36 deletions(-) diff --git a/src/brioches.tex b/src/brioches.tex index 0cd550b..dd9e0d3 100644 --- a/src/brioches.tex +++ b/src/brioches.tex @@ -1,12 +1,18 @@ \section{Brioches gonflées} -\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Il dispose d'un outil qui permet de déposer de la pâte à brioche suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur $0$). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentrée et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout. -La brioche d'\'Eric ne se repousse pas elle même : -par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la brioche aura pour forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. +\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. +Il dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme il le souhaite de la pâte à brioche dans le plan suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). +En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à \'Eric de déposer de la pâte en quantité $R(P)$ plus ou moins importante. + +Lorsqu'elle est au four, la pâte gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric met de la pâte. +La pâte d'\'Eric ne se repousse pas elle même: +par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte gonflera en une brioche de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$. +On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de points du plan telle que la pâte d'\'Eric peut gonfler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé. -\textcolor{red}{Préciser que c'est Eric qui choisit la quantité de brioche.} + +\textcolor{red}{Brioche, ou cookie, ou autre ?} \begin{figure}[ht] @@ -39,52 +45,55 @@ La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centr \label{fig:pate_complexe} \end{figure} - -\q Avec ce procédé, \'Eric peut-il faire une brioche qui a la forme: +\'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes: \begin{enumerate} - \item d'un disque ? - \item d'un rectangle quelconque ? - \item d'un triangle quelconque ? - \item d'un anneau (un grand disque centré en un point $A$ dont on a retiré un petit disque centré en ce même point $A$). + \item un disque de rayon $R$; + \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$; + \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$; + \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$). \end{enumerate} -\q Reprendre la question \textbf{1.} si on suppose que $R(P)=r$ ne dépend pas de $P$. -Plus généralement, donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir. +\textcolor{red}{faire des figures pour les brioches.} + +\q La forme a) est-elle une brioche ? Même question pour chacune des formes b), c) et d). \medskip -Désormais, \'Eric souhaite économiser la pâte et en utiliser le moins possible. La quantité de pâte est la somme des longueurs des segments où il a placé de la pâte. -% \'Eric étant très intelligent il utilisera toujours le moins de pâte possible. +La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire une brioche est la somme des longueurs des segments où \'Eric place de la pâte. -\q Pour quelles quantités de pâte peut-il réaliser chacune des formes suivantes : -\begin{enumerate} - \item un disque de rayon $R$ ? - \item un rectangle de côtés de longueurs $a$ et $b$ ? - \item un triangle de côtés $a$, $b$ et $c$ ? - \item un anneau de rayon intérieur $r$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>r$) ? -\end{enumerate} -On s'intéressera plus à comment la pâte est disposée qu'à la valeur précise de la longueur totale [A FORMULER BIEN] +\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des brioches, pour quelles quantités de pâte \'Eric peut-il la réaliser ? -\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une forme de brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte) ? +\medskip -%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ? +La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. On dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r \geqslant 0$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. +On appelle $r$-\textbf{brioche du plan}, ou plus simplement $r$-brioche, une brioche qu'\'Eric peut réaliser avec un outil de précision $r$. -%\q Eric souhaite faire des brioches d'un seul tenant (il est toujours possible de faire un chemin de segments consécutifs dans la brioche qu'il obtient) [i.e. connexes par arcs + connexe ]. Parmi les points où Eric a placé de la pâte, est-il toujours possible de trouver un chemin de segments de pâte reliant deux points $P$ et $P'$. +En particulier, les $0$-brioches sont exactement les brioches, et toute $r$-brioche est une brioche. -%\q En fait, Eric se rend compte qu'il regardait ses brioches gonfler par au-dessus mais qu'elle gonfle en fait dans l'espace et non pas dans le plan. La brioche occupe alors la réunion des boules de centre P et de rayon $R(P)$ (où les points $P$ où Eric place de la brioche sont toujours dans le plan). Quel est alors le volume que prend la brioche si la forme vue au-dessus est : -%\begin{enumerate} -% \item un disque de rayon $R$ ? -% \item un carré de côté $C$ ? -% \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ? -%\end{enumerate} +\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-brioches, en fonction de $r$. -\q Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? +\medskip -\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ? +Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duquel répondre. -\q Dans le cas où le rayon est constant=r donner des conditions sur le contour pour qu'il ne soit pas possible de le remplir. +\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une $r$-brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme, et que cette dernière n'utilise aucun segment de longueur 0. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte), sans segment de longueur 0 ? +\medskip -%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A. +\'Eric s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-brioches. -\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche. +Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que : +\begin{itemize} + \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$, + \item pour toute autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$. +\end{itemize} + +\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $(x(t),y(t))$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche. + +\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas une $r$-brioche ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? + +\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit une brioche, mais qui ne soit une $r$-brioche pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? + +\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit une $r$-brioche. + +\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, notamment en dimension $3$. \ No newline at end of file From e0616a604441470798d8696f091f4327f885be49 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Wed, 20 Dec 2023 23:45:30 +0100 Subject: [PATCH 2/4] =?UTF-8?q?changement=20ordre=20probl=C3=A8mes=20et=20?= =?UTF-8?q?mots-cl=C3=A9s?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- index.tex | 11 +++++------ 1 file changed, 5 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/index.tex b/index.tex index b2b4596..9decd7b 100644 --- a/index.tex +++ b/index.tex @@ -102,16 +102,15 @@ Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de qu \textsc{Mots-clés :} -1.~Combinatoire \hfill 2.~Optimisation, Arithmétique \hfill 3.~Géométrie, Optimisation, Analyse \hfill 4.~Système dynamique \hfill 5.~Géométrie \hfill 6.~Probabilités, Optimisation \hfill 7.~Système dynamique, Combinatoire \hfill 8.~Arithmétique, Théorie des graphes +1.~Combinatoire \hfill 2.~Optimisation, arithmétique \hfill 3.~Systèmes dynamiques \hfill 4.~Analyse, suites \hfill 5.~Géométrie \hfill 6.~Probabilités \hfill 7.~Géométrie, analyse \hfill 8.~Combinatoire, arithmétique \vspace{1cm} \section*{Notations} \begin{tabular}{ll} $\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$ & ensemble contenant les éléments $a_1, a_2, \dots, a_n$ \\ -$\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$ & ensemble des nombres entiers positifs \\ -$[x,y]$ & ensemble des nombres compris entre $x$ et $y$ \\ -$[x]$ & plus grand entier inférieur ou égal à $x$ \\ +$[x,y]$ & ensemble des nombres réels compris entre $x$ et $y$ inclus \\ +$\min_{x\in X} f(x)$ & plus petite valeur prise par $f(x)$ quand $x$ parcourt l'ensemble $X$ \end{tabular} \restoregeometry @@ -123,7 +122,7 @@ $[x]$ & plus grand entier inférieur ou égal à $x$ \\ \nextpb \input{src/matheux_sociables.tex} \nextpb -\input{src/brioches.tex} +\input{src/ping_pong.tex} \nextpb \input{src/depollution_seine.tex} \nextpb @@ -131,7 +130,7 @@ $[x]$ & plus grand entier inférieur ou égal à $x$ \\ \nextpb \input{src/piece_truquee.tex} \nextpb -\input{src/ping_pong.tex} +\input{src/brioches.tex} \nextpb \input{src/oracle.tex} \nextpb From 6b71baf8e4f02568294ea888fdd40ede9f7cf188 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 21 Dec 2023 00:03:20 +0100 Subject: [PATCH 3/4] ajout du fichier .gitignore --- .gitignore | 10 ++++++++++ 1 file changed, 10 insertions(+) create mode 100644 .gitignore diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..3fccabb --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,10 @@ +# Types de fichiers ignores par git + +*.aux +*.bbl +*.blg +*.log +*.out +*.pdf +*.toc +*.syntex.gz From 0156ccf6cf58eba884f43d08272c0eb69e91bb1c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 21 Dec 2023 00:04:03 +0100 Subject: [PATCH 4/4] ajout du fichier .gitignore --- .gitignore | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 3fccabb..5805720 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -7,4 +7,4 @@ *.out *.pdf *.toc -*.syntex.gz +*.synctex.gz