diff --git a/src/Pavage.png b/src/Pavage.png new file mode 100644 index 0000000..f43eb2f Binary files /dev/null and b/src/Pavage.png differ diff --git a/src/Symetrie.png b/src/Symetrie.png new file mode 100644 index 0000000..4f3ea9f Binary files /dev/null and b/src/Symetrie.png differ diff --git a/src/Triangle 1.png b/src/Triangle 1.png new file mode 100644 index 0000000..7d97a95 Binary files /dev/null and b/src/Triangle 1.png differ diff --git a/src/Triangle 2.png b/src/Triangle 2.png new file mode 100644 index 0000000..8718f87 Binary files /dev/null and b/src/Triangle 2.png differ diff --git a/src/brioches.tex b/src/brioches.tex index bc2d19f..511d071 100644 --- a/src/brioches.tex +++ b/src/brioches.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Brioches} +\section{Brioches gonflées} Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du $\mathbb{T} \mathbb{F} \mathbb{J} \mathbb{M}^2$. Il dispose d'un outil qui permet de déposer de la pâte à brioche suivant des segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur 0). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et rempli le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentré et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout. La brioche d'Eric ne se repousse pas elle même, Si le disque de centre P et de rayon $R(P)$ est contenu dans le rayon $R(P')$, alors La brioche aura pour forme le rayon $R(P')$ uniquement. La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$. diff --git a/src/matheux_sociables.tex b/src/matheux_sociables.tex index 2ebc468..0a9e669 100644 --- a/src/matheux_sociables.tex +++ b/src/matheux_sociables.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Titre} +\section{Matheux sociables} Énoncé diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 2ebc468..8157d01 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -1,7 +1,61 @@ -\section{Titre} +\section{Pièces truquées} -Énoncé +A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. -\q Première question +Un exemple de partie, pour $n=2$, est : +\small \begin{itemize}[itemsep=0pt] + \item A tire pile + \item B prédit face + \item A tire face + \item B prédit pile + \item A tire face +\end{itemize} \normalsize +Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse. -\q Deuxième question +\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est : +\begin{enumerate} + \item toujours pile ? + \item le résultat du lancer précédent ? + \item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ? +\end{enumerate} + +\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si : +\begin{enumerate} + \item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? + \item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? +\end{enumerate} + +Maintenant B veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$. + +Une \emph{stratégie} pour B est une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. + +\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? + +\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si : +\begin{enumerate} + \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ? + \item $\mathcal{P}=[0,1]$ ? + \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? +\end{enumerate} + +A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. + +\q Quel est l'espérance du gain de B pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ? + +\medskip + +B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. A lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. + +\q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? + +\medskip + +Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$. + +\q B doit deviner quel $K$ a été choisi par A. +\begin{enumerate} + \item Il annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ? + \item Après chaque lancer, $B$ peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. S'il a raison, il gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si il fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m