diff --git a/src/matheux_sociables.tex b/src/matheux_sociables.tex index 15e7c53..4a10aab 100644 --- a/src/matheux_sociables.tex +++ b/src/matheux_sociables.tex @@ -9,7 +9,7 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p$ places avec $p>1$. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade. On note par $r$ le nombre de repas. Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$. -\begin{figure} +\begin{figure}[!ht] \centering \begin{tikzpicture} \draw (0,1.5) circle (0.6); diff --git a/src/rebonds_etranges.tex b/src/rebonds_etranges.tex index a5d442e..36039ff 100644 --- a/src/rebonds_etranges.tex +++ b/src/rebonds_etranges.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Électron libre} -Le petit Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1. +Le petit Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace alors à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1. Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron. @@ -50,7 +50,9 @@ La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cerc \q Combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction du rayon du cercle (ce nombre est potentiellement infini) ? -\q Nicolas dispose $n$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. Quel est le plus petit entier $N$ tel que quelle que soit la position des $n$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $n$ points en appuyant au plus $N$ fois sur le bouton ? Et si le cercle est de rayon $R>0$ quelconque ? +\q Nicolas dispose $n$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. L'électron peut rentrer et sortir du disque, celui-ci n'a aucune influence sur sa trajectoire. Estimez le plus petit entier $N$ tel que quelle que soit la position des $n$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $n$ points en appuyant au plus $N$ fois sur le bouton. Que se passe-t-il avec un disque de rayon $R>0$ quelconque ? + +\q Nicolas dispose, dans cette question seulement, de $k$ canons à électons disposés de manière quelconque sur le plan, et de $k$ boutons permettant de contrôler chaque électron indépendamment. Peut-il toujours faire en sorte que les $k$ électrons se trouvent au même endroit au même moment ? \medskip diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index c478528..b5ece80 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Triominos} -Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté. +Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté. \begin{center} \begin{figure}[h] \begin{tikzpicture} @@ -14,7 +14,7 @@ Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alice a des pièces tri \end{figure} \end{center} -Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident toujours. +Alexander décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident toujours. \begin{center} \begin{figure}[h] @@ -59,13 +59,13 @@ Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à par \end{figure} \end{center} -Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$. +Alexander possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$. -\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ? +\q Combien Alexander possède-t-il de triominos ? \medskip -Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante : +Alexander souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante : \medskip @@ -77,11 +77,13 @@ Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante : \end{tikzpicture} \end{center} -\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=2$ ? $n=3$ ? $n=4$ ? +\q Pour quels valeurs de $n$ Alexander peut-il disposer tous les triominos en ligne droite ? On pourra commencer par traiter les cas $n=2,3,4$ . -b) Et pour $n$ quelconque ? +\q Pour quels valeurs de $n$ Alexander peut-il trouver une configuration utilisant toutes les pièces ? -Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommets des triangles. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident. +\medskip + +Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommets des triangles. Alexander souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident. \begin{center} \begin{figure}[h] @@ -105,19 +107,16 @@ Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommet \end{figure} \end{center} -On suppose temporairement que parmi les trois nombres qui apparaissent sur chaque pièce, au plus deux sont différents. +On suppose pour commenccer que parmi les trois nombres qui apparaissent sur chaque pièce, au plus deux sont différents. -\q Combien y a-t-il alors de pièces ? +\q Reprendre les question \textbf{1.} à \textbf{3.} dans ce cadre. -\q Peut-on toujours disposer toutes les pièces en ligne droite ? +\medskip -\q Peut-on toujours réaliser une configuration utilisant toutes les pièces ? +Maintenant les trois nombres aux sommets des pièces triangulaires sont quelconques, toujours compris entre $1$ et $n$. +\q Reprendre les question \textbf{1.} à \textbf{3.} dans ce cadre. -On suppose désormais que le jeu d'Alice contient toutes les pièces possibles, avec toujours les nombres sur les sommets. - -\q Reprendre les questions 3, 4 et 5 dans ce cas. - -\q Estimer, en fonction de $n$, la taille du plus grand losange qu'Alice peut former avec ses triominos. +\q Estimer, en fonction de $n$, la taille du plus grand losange qu'Alexander peut former avec ses triominos. \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. \ No newline at end of file