diff --git a/src/Pavage.png b/src/Pavage.png new file mode 100644 index 0000000..f43eb2f Binary files /dev/null and b/src/Pavage.png differ diff --git a/src/Symetrie.png b/src/Symetrie.png new file mode 100644 index 0000000..4f3ea9f Binary files /dev/null and b/src/Symetrie.png differ diff --git a/src/Triangle 1.png b/src/Triangle 1.png new file mode 100644 index 0000000..7d97a95 Binary files /dev/null and b/src/Triangle 1.png differ diff --git a/src/Triangle 2.png b/src/Triangle 2.png new file mode 100644 index 0000000..8718f87 Binary files /dev/null and b/src/Triangle 2.png differ diff --git a/src/brioches.tex b/src/brioches.tex index bc2d19f..511d071 100644 --- a/src/brioches.tex +++ b/src/brioches.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Brioches} +\section{Brioches gonflées} Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du $\mathbb{T} \mathbb{F} \mathbb{J} \mathbb{M}^2$. Il dispose d'un outil qui permet de déposer de la pâte à brioche suivant des segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur 0). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et rempli le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentré et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout. La brioche d'Eric ne se repousse pas elle même, Si le disque de centre P et de rayon $R(P)$ est contenu dans le rayon $R(P')$, alors La brioche aura pour forme le rayon $R(P')$ uniquement. La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$. diff --git a/src/depollution_seine.tex b/src/depollution_seine.tex index d2a5507..96a38d6 100644 --- a/src/depollution_seine.tex +++ b/src/depollution_seine.tex @@ -1,27 +1,240 @@ + +\documentclass[a4paper,12pt]{amsart} + +% Variables +\newcommand{\numeroTournoi}{13} +\newcommand{\version}{1.0} + +% Encodage +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[french]{babel} +\renewcommand{\contentsname}{Table des matières} + +% Titres +\newcommand{\tfjm}{$\mathbb{TFJM}^2$} +\newcommand{\titre}{Probl\`emes du \numeroTournoi\textsuperscript{\`eme} \tfjm} +\newcommand{\titreLong}{Problèmes du \numeroTournoi\textsuperscript{ème} Tournoi Français \\ des Jeunes Mathématiciennes et Mathématiciens} +\title[\titre]{TFJM\textsuperscript{2} 2022: Fiches du jury} +\author{version \version\, mise à jour le \today} + +% Mise en page +\usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry} +\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd,mathrsfs,mathtools,stmaryrd,mathptmx} +\usepackage[backref,colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=black,pdftex]{hyperref} +\usepackage{xfrac} +\usepackage{array} +\usepackage[all]{xy} +\usepackage{paralist} +\usepackage{lmodern} +\usepackage{upgreek} +\usepackage{multicol} +\usepackage{caption} +\usepackage{enumitem} +\usepackage{xspace} +\usepackage{subcaption} + +\usepackage{xcolor} +\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}} + +% FancyHeader +\usepackage{fancyhdr} +\pagestyle{fancy} +\fancyhead[L]{\textsc{\titre}} +\fancyhead[R]{\thepage} +\fancyfoot[C]{ } +\setlength{\headheight}{15.5pt} + +% TIKZ +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{decorations} +\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} +\usetikzlibrary{shapes.geometric} +\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{arrows} +\usetikzlibrary{shapes.misc} +\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} + +% Commandes Benoit +\usepackage[nomessages]{fp} +\newcommand{\orangeAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{red} #1}} +\newcommand{\bleuAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{bleuAnimath} #1}} + +% Commandes mathématiques +\renewcommand{\leq}{\leqslant} +\renewcommand{\geq}{\geqslant} +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\C}{\mathbb{C}} + +% Questions +\newcounter{question} +\newcommand{\nextpb}{\bigskip \begin{center} $\ast \; \ast \; \ast$ \end{center} \setcounter{question}{0}} +\newcommand{\nextPB}{\begin{center}$\ast~~\ast~~\ast$\end{center}\newpage\setcounter{question}{0}} +\newcommand{\q}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\,} +\newcommand{\qnospace}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\, \vspace*{-6.5mm}} +\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} +\newtheorem{thm}{Théorème}[section] +\newtheorem{lemme}{Lemme}[section] +\newtheorem{rem}{Remarque}[section] +\newtheorem{ques}{Question}[section] + +%----------------------------------------------------------------------------------------------- + +% Couleurs officielles: +\definecolor{orangeAnimath}{RGB}{234,94,0} +\definecolor{bleuAnimath}{RGB}{0,159,227} + +\begin{document} + +\newgeometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm} +\setlength{\footskip}{14.0pt} +\maketitle +\thispagestyle{empty} + +\textbf{Avertissement :} +Le contenu de ces fiches doit rester confidentiel jusqu'au tournoi national ! Même si vous encadrez une équipe, vous ne devez pas diffuser son contenu aux élèves au risque de dénaturer le tournoi ! + +\tableofcontents + +\newpage + \section{Dépollution de la Seine} -Pour préparer les Jeux Olympiques de 2024, les organisateurs ont besoin de dépolluer des bassins alimentés par la Seine. Une équipe de biologistes a découvert une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Pour éviter tout risque pour les baigneurs, ces bactéries ne survivent et ne se multiplient que dans l'eau polluée. Les bactéries dans l'eau propre meurent instantanément. Les bactéries dans l'eau polluée meurent au bout de $D$ jours (où $D$ est un entier strictement positif). Les bactéries dans l'eau polluée dépolluent l'eau en exactement $E$ jours (où $E$ est un entier strictement positif). Chaque jour, les bactéries dans l'eau polluée se multiplient. Si les bactéries occupaient un volume $v(T)$ d'eau le jour $T$, alors le jour $T+1$, de nouvelles bactéries naissent et occupent un volume d'eau égal à $v(T+1) = K v(T)$ (où $K$ est un réel strictement positif). Si $K v(T) > V$, on a alors $v(T+1) = V$ et le bassin est dit entièrement dépollué. On ne sait pas si l'eau que les nouvelles bactéries occuperont était déjà dépolluée, occupée par des bactéries ou non. +Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau +Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v(0)\in ]0,V[$. Le jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), on note $v(T)$ le volume occupé par les bactéries. La population de bactéries se comporte de la manière suivante: +\begin{itemize} + %\item Le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), les bactéries occupent un volume $v(T)\in[0,V]$; + \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre; + \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction). Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin; + \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le jour $T+1$. +\end{itemize} -Au départ, un bassin de $V \, m^3$ d'eau ne contient que de l'eau polluée et on y place des bactéries dans un volume $v(0) < V$ d'eau. +Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On pose: $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. -On suppose pour l'instant $D=E=1$. +\q Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0 0$ (car on considère que le terme en $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable). + +\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau polluée, puis dans de l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas-là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ? + +\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau propre, puis dans de l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire. +\begin{enumerate} +\item Étudier l'évolution de la suite $v(T)$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle? +\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? +\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? +\item Étudier les cas $K>4$ et $2K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ? +%\begin{enumerate} +%\item Dans un premier temps, +%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? +%\end{enumerate} + + + + + +\q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $01$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si +\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\] +Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est +\[ +\left\{ +\begin{array}{ll} +\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\ +\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\ +\end{array}\right. +\] + +b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau + +(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$). + +(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$. + +(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra. + +(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer. + +(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ? + +Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$. + +\q (moyen-difficile) + +\q +\begin{enumerate} +\item $K\in[0,4]$ +\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale} +\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations. +\end{enumerate} + +\q (moyen) + +\q (difficile) + +\q (ouvert) b) un peu ambiguë? + +\nextPB + +\end{document} diff --git a/src/matheux_sociables.tex b/src/matheux_sociables.tex index 2ebc468..0a9e669 100644 --- a/src/matheux_sociables.tex +++ b/src/matheux_sociables.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Titre} +\section{Matheux sociables} Énoncé diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 72d54d8..8157d01 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -1,47 +1,61 @@ \section{Pièces truquées} -A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. A lance $N$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants). Avant chaque lancer, B essaye de prédire le résultat. +A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. -\q B gagne un point par bonne réponse. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est +Un exemple de partie, pour $n=2$, est : +\small \begin{itemize}[itemsep=0pt] + \item A tire pile + \item B prédit face + \item A tire face + \item B prédit pile + \item A tire face +\end{itemize} \normalsize +Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse. + +\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est : \begin{enumerate} - \item Toujours face ? - \item Le résultat du lancer précédent (B fait un premier lancer préliminaire) + \item toujours pile ? + \item le résultat du lancer précédent ? \item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ? \end{enumerate} -\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a et b de la question 1, quel est l'espérance de son gain si +\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si : \begin{enumerate} - \item Il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? - \item Il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1point pour la première, deux pour la deuxième...) ? + \item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? + \item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? \end{enumerate} -\q Si le joueur B connaît p, quelle est la meilleure stratégie, en fonction de p ? Existe-t-il une stratégie indépendante de p qui soit meilleure que toutes les autres quel que soit p ? +Maintenant B veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$. -A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièce qui tombent sur pile avec proba p1 et p2 respectivement. +Une \emph{stratégie} pour B est une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. -\q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie. +\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? + +\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si : \begin{enumerate} - \item Combien gagne-t-il en moyenne pour les stratégies de la question 1 ? - \item Quelle est la meilleure stratégie dans ce cadre ? (Celle qui maximise le gain moyen.) + \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ? + \item $\mathcal{P}=[0,1]$ ? + \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? \end{enumerate} -\q Maintenant, le joueur B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. +A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. + +\q Quel est l'espérance du gain de B pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ? + +\medskip + +B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. A lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. + +\q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? + +\medskip + +Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$. + +\q B doit deviner quel $K$ a été choisi par A. \begin{enumerate} - \item Le joueur A annonce ce qu'il pense être la pièce choisie à la fin des N lancers et gagne 1 point si sa supposition est bonne. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ? - \item Le joueur A annonce la pièce choisie en cours de route et gagne N-k points s'il fait la bonne prédiction après le k-ieme tirage. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ? + \item Il annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ? + \item Après chaque lancer, $B$ peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. S'il a raison, il gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si il fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m