From 1bf25e41e11574827898440e90359fb67c0e0c92 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Nathana=C3=ABl?= Date: Tue, 5 Dec 2023 20:21:50 +0100 Subject: [PATCH 01/14] ajout titre --- src/depollution_seine.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/src/depollution_seine.tex b/src/depollution_seine.tex index 2ebc468..3437e2d 100644 --- a/src/depollution_seine.tex +++ b/src/depollution_seine.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Titre} +\section{Dépollution de la Seine} Énoncé From 06b62e42e031dfd419ad6483eee5e343b8490a55 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 10:49:47 +0100 Subject: [PATCH 02/14] mise a jour piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 51 ------------------------------------------- 1 file changed, 51 deletions(-) delete mode 100644 src/piece_truquee.tex diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex deleted file mode 100644 index b6058b4..0000000 --- a/src/piece_truquee.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -\section{Pièces truquées} - -A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. A lance $N$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants). Avant chaque lancer, B essaye de prédire le résultat. - -\q B gagne un point par bonne réponse. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est -\begin{enumerate} - \item Toujours face ? - \item Le résultat du lancer précédent (B fait un premier lancer préliminaire) - \item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ? -\end{enumerate} - -\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a et b de la question 1, quel est l'espérance de son gain si -\begin{enumerate} - \item Il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? - \item Il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1point pour la première, deux pour la deuxième...) ? -\end{enumerate} - -<<<<<<< HEAD -\q Maintenant $B$ veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connait pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in P$ où $P$ est une partie de $[0,1]$. Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $1,2,...,m-1$. la question 1 donne donc trois exembles de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain moyen minimal} pour $\mathcal{S}$ est $\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. -======= -\q Si le joueur B connaît p, quelle est la meilleure stratégie, en fonction de p ? Existe-t-il une stratégie indépendante de p qui soit meilleure que toutes les autres quel que soit p ? - -A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièce qui tombent sur pile avec proba p1 et p2 respectivement. - -\q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie. -\begin{enumerate} - \item Combien gagne-t-il en moyenne pour les stratégies de la question 1 ? - \item Quelle est la meilleure stratégie dans ce cadre ? (Celle qui maximise le gain moyen.) -\end{enumerate} - -\q Maintenant, le joueur B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. -\begin{enumerate} - \item Le joueur A annonce ce qu'il pense être la pièce choisie à la fin des N lancers et gagne 1 point si sa supposition est bonne. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ? - \item Le joueur A annonce la pièce choisie en cours de route et gagne N-k points s'il fait la bonne prédiction après le k-ieme tirage. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ? -\end{enumerate} - -\q Maintenant A commence par tirer la pièce 1 puis, à partir du K-ième lancer, tire la pièce 2, où K est choisi uniformément au hasard. B essaye de deviner K et gagne N - |K-K'| points, où K' est sa prédiction. -\begin{enumerate} - \item Il annonce sa prédiction à la fin des N lancers. Quelle est la meilleure stratégie ? Quelle est alors son gain moyen ? - \item Il fait sa prédiction après le lancer K'. Quel est la meilleure stratégie ? Quel est son gain moyen ? -\end{enumerate} ->>>>>>> f1e3b513ff64eccbeb656b43115022b5252c2e21 - -\begin{enumerate} - \item Si $P=[0,1]$, quel est le gain moyen minimal des stratégie a,b,c de la question 1 ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/2]$ ? Quel est-il ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1]$ ? Quel est-il ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/4]\cup [3/4,1]$ ? Quel est-il ? -\end{enumerate} - -\q A possède maintenant deux pièces qui tombent sur pile avec probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. \ No newline at end of file From 9796e9515582045a7d7927e999103d42456a35fa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 12:55:52 +0100 Subject: [PATCH 03/14] mise a jour piece truquee --- src/brioches.tex | 2 +- src/matheux_sociables.tex | 2 +- src/piece_truquee.tex | 22 ++++++++++++++++------ src/rebonds_etranges.tex | 2 +- src/triominos.tex | 2 +- 5 files changed, 20 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/src/brioches.tex b/src/brioches.tex index bc2d19f..511d071 100644 --- a/src/brioches.tex +++ b/src/brioches.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Brioches} +\section{Brioches gonflées} Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du $\mathbb{T} \mathbb{F} \mathbb{J} \mathbb{M}^2$. Il dispose d'un outil qui permet de déposer de la pâte à brioche suivant des segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de ligne droite de longueur 0). Lorsqu'elle est au four, la brioche gonfle et rempli le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Eric a mis de la pâte. La machine peut déposer de la pâte plus ou moins concentré et le rayon $R(P)$ n'est pas forcément le même partout. La brioche d'Eric ne se repousse pas elle même, Si le disque de centre P et de rayon $R(P)$ est contenu dans le rayon $R(P')$, alors La brioche aura pour forme le rayon $R(P')$ uniquement. La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$. diff --git a/src/matheux_sociables.tex b/src/matheux_sociables.tex index 2ebc468..0a9e669 100644 --- a/src/matheux_sociables.tex +++ b/src/matheux_sociables.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Titre} +\section{Matheux sociables} Énoncé diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 1a60989..f1ec09e 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -1,18 +1,28 @@ \section{Pièces truquées} -A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. A lance $N$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants). Avant chaque lancer, B essaye de prédire le résultat. +A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $N$, A lance donc $N+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $N$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $N$. -\q B gagne un point par bonne réponse. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est +Un exemple de partie, pour $N=2$, est : +\begin{itemize} + \item A tire pile + \item B prédit face + \item A tire face + \item B prédit pile + \item A tire face +\end{itemize} +Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse. + +\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est \begin{enumerate} - \item Toujours face ? - \item Le résultat du lancer précédent (B fait un premier lancer préliminaire) + \item toujours pile ? + \item le résultat du lancer précédent ? \item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ? \end{enumerate} \q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a et b de la question 1, quel est l'espérance de son gain si \begin{enumerate} - \item Il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? - \item Il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1point pour la première, deux pour la deuxième...) ? + \item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? + \item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? \end{enumerate} \q Si le joueur B connaît p, quelle est la meilleure stratégie, en fonction de p ? Existe-t-il une stratégie indépendante de p qui soit meilleure que toutes les autres quel que soit p ? diff --git a/src/rebonds_etranges.tex b/src/rebonds_etranges.tex index 2ebc468..e8e6d49 100644 --- a/src/rebonds_etranges.tex +++ b/src/rebonds_etranges.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Titre} +\section{Rebonds étranges} Énoncé diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index 2ebc468..d18e971 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\section{Titre} +\section{Triominos} Énoncé From 8d74128ec8536a626db509d8720848621ce3199f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 13:23:37 +0100 Subject: [PATCH 04/14] mise a jour piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 13 +++++++++++-- 1 file changed, 11 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index f1ec09e..7263100 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -25,9 +25,18 @@ Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédicti \item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? \end{enumerate} -\q Si le joueur B connaît p, quelle est la meilleure stratégie, en fonction de p ? Existe-t-il une stratégie indépendante de p qui soit meilleure que toutes les autres quel que soit p ? +Maintenant $B$ veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in P$ où $P$ est une partie de $[0,1]$. -A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièce qui tombent sur pile avec proba p1 et p2 respectivement. +Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question 1 donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in P$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. + +\q Si $P=[0,1]$ (ie. On n'au aucune information a priori sur la valeur de $p$, quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? + +\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si +\begin{enumerate} + \item $P=[0,1/2]$ ? + \item $P=[0,1]$ ? + \item $P=[0,1/4]\cup [3/4,1]$ ? +\end{enumerate} \q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie. \begin{enumerate} From c10c247ddc270ab12faa12264abc70353e5335a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 13:33:51 +0100 Subject: [PATCH 05/14] mise a jour piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 6 ++++-- 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 7263100..35d8906 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -33,11 +33,13 @@ Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction \q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si \begin{enumerate} - \item $P=[0,1/2]$ ? + \item $P=[0,\frac{1}{2}]$ ? \item $P=[0,1]$ ? - \item $P=[0,1/4]\cup [3/4,1]$ ? + \item $P=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? \end{enumerate} +A partir de maintenant, le joueur A ne possède plus une mais deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. + \q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie. \begin{enumerate} \item Combien gagne-t-il en moyenne pour les stratégies de la question 1 ? From 27c4021e1e5d7a15e0da4558eacb963e344103aa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 13:36:20 +0100 Subject: [PATCH 06/14] mise a jour piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 35d8906..2426a2e 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -29,7 +29,7 @@ Maintenant $B$ veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question 1 donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in P$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. -\q Si $P=[0,1]$ (ie. On n'au aucune information a priori sur la valeur de $p$, quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? +\q Si $P=[0,1]$ (ie. on n'au aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? \q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si \begin{enumerate} From c2efdbf18fb5707bb6f14e25cf6d6e1a50d6f04a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 14:46:08 +0100 Subject: [PATCH 07/14] mise a jour piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 23 +++++------------------ 1 file changed, 5 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 2426a2e..8aaf419 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -38,19 +38,13 @@ Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction \item $P=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? \end{enumerate} -A partir de maintenant, le joueur A ne possède plus une mais deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. +A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Il commence par choisir au hasard une deux deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $N+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. -\q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie. -\begin{enumerate} - \item Combien gagne-t-il en moyenne pour les stratégies de la question 1 ? - \item Quelle est la meilleure stratégie dans ce cadre ? (Celle qui maximise le gain moyen.) -\end{enumerate} +\q Quel est l'espérance du gain de B dans ce cadre pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle stratégie est la meilleure possible (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? -\q Maintenant, le joueur B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. -\begin{enumerate} - \item Le joueur A annonce ce qu'il pense être la pièce choisie à la fin des N lancers et gagne 1 point si sa supposition est bonne. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ? - \item Le joueur A annonce la pièce choisie en cours de route et gagne N-k points s'il fait la bonne prédiction après le k-ieme tirage. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ? -\end{enumerate} +B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Comme précédemment, A lance plusieurs fois la pièce la pièce mais, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire. B gagne $M$ point si sa déclaration est correcte, pert 1 point par lancer supplémentaire, et peut demander au maximum $N$ lancers en plus de celui effectué initialement. + +\q Quelle est la meilleure stratégie pour B (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? \q Maintenant A commence par tirer la pièce 1 puis, à partir du K-ième lancer, tire la pièce 2, où K est choisi uniformément au hasard. B essaye de deviner K et gagne N - |K-K'| points, où K' est sa prédiction. \begin{enumerate} @@ -58,11 +52,4 @@ A partir de maintenant, le joueur A ne possède plus une mais deux pièces, d'ap \item Il fait sa prédiction après le lancer K'. Quel est la meilleure stratégie ? Quel est son gain moyen ? \end{enumerate} -\begin{enumerate} - \item Si $P=[0,1]$, quel est le gain moyen minimal des stratégie a,b,c de la question 1 ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/2]$ ? Quel est-il ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1]$ ? Quel est-il ? - \item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/4]\cup [3/4,1]$ ? Quel est-il ? -\end{enumerate} - \q A possède maintenant deux pièces qui tombent sur pile avec probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. \ No newline at end of file From 18ffdb23ec98a7a10a543021c1771859b1f9043b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 16:00:14 +0100 Subject: [PATCH 08/14] mise a jour piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 42 +++++++++++++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 29 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 8aaf419..0a193f8 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -1,8 +1,9 @@ \section{Pièces truquées} -A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $N$, A lance donc $N+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $N$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $N$. +A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. -Un exemple de partie, pour $N=2$, est : +Un exemple de partie, pour $n=2$, est : +\small \begin{itemize} \item A tire pile \item B prédit face @@ -10,6 +11,7 @@ Un exemple de partie, pour $N=2$, est : \item B prédit pile \item A tire face \end{itemize} +\normalsize Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse. \q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est @@ -27,29 +29,43 @@ Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédicti Maintenant $B$ veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in P$ où $P$ est une partie de $[0,1]$. -Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question 1 donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in P$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. +Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question 1 donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. \q Si $P=[0,1]$ (ie. on n'au aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? \q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si \begin{enumerate} - \item $P=[0,\frac{1}{2}]$ ? - \item $P=[0,1]$ ? - \item $P=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? + \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ? + \item $\mathcal{P}=[0,1]$ ? + \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? \end{enumerate} -A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Il commence par choisir au hasard une deux deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $N+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. +A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Il commence par choisir au hasard une deux deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. \q Quel est l'espérance du gain de B dans ce cadre pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle stratégie est la meilleure possible (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? -B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Comme précédemment, A lance plusieurs fois la pièce la pièce mais, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire. B gagne $M$ point si sa déclaration est correcte, pert 1 point par lancer supplémentaire, et peut demander au maximum $N$ lancers en plus de celui effectué initialement. +B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Comme précédemment, A lance plusieurs fois la pièce la pièce mais, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. -\q Quelle est la meilleure stratégie pour B (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? +Un exemple de partie, pour $n=3, m= 2$, est : +\begin{itemize} + \item A choisit la pièce 1 + \item A tire pile + \item B demance un lancer supplémentaire + \item A tire face + \item B demance un lancer supplémentaire + \item A tire face + \item B déclare que la pièce 1 a été choisie +\end{itemize} +Dans ce cas, B a demandé 2 lancers supplémentaires, ce qui est bien inférieur ou égal à $n=3$, et sa déclaration était juste donc son score est $-1-1+2=0$. -\q Maintenant A commence par tirer la pièce 1 puis, à partir du K-ième lancer, tire la pièce 2, où K est choisi uniformément au hasard. B essaye de deviner K et gagne N - |K-K'| points, où K' est sa prédiction. +\q Quelle est la meilleure stratégie pour B (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? + +Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce $1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce $2$ pour les lancers $K, ..., n$. B B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$. + +\q B doit deviner quel $K$ a été choisi par A. \begin{enumerate} - \item Il annonce sa prédiction à la fin des N lancers. Quelle est la meilleure stratégie ? Quelle est alors son gain moyen ? - \item Il fait sa prédiction après le lancer K'. Quel est la meilleure stratégie ? Quel est son gain moyen ? + \item Il annonce sa prédiction après les $N+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison ? Quelle est alors cette probabilité ? + \item Après chaque lancer, $B$ peut décider de continuer ou annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. S'il a raison, il gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si il fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m Date: Sat, 9 Dec 2023 16:12:17 +0100 Subject: [PATCH 09/14] mise a jour piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 14 ++++++-------- 1 file changed, 6 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 0a193f8..71829af 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -3,25 +3,23 @@ A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : A lance une première fois la pièce, puis B essaye de prédire le résultat du lancer suivant, A lance à nouveau la pièce, B fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, A lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et B fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. Un exemple de partie, pour $n=2$, est : -\small -\begin{itemize} +\small \begin{itemize}[itemsep=0pt] \item A tire pile \item B prédit face \item A tire face \item B prédit pile \item A tire face -\end{itemize} -\normalsize +\end{itemize} \normalsize Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse. -\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est +\q B gagne un point par prédiction juste. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est : \begin{enumerate} \item toujours pile ? \item le résultat du lancer précédent ? \item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ? \end{enumerate} -\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a et b de la question 1, quel est l'espérance de son gain si +\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si : \begin{enumerate} \item il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? \item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? @@ -47,7 +45,7 @@ A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistin B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Comme précédemment, A lance plusieurs fois la pièce la pièce mais, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. Un exemple de partie, pour $n=3, m= 2$, est : -\begin{itemize} +\small \begin{itemize}[itemsep=0pt] \item A choisit la pièce 1 \item A tire pile \item B demance un lancer supplémentaire @@ -55,7 +53,7 @@ Un exemple de partie, pour $n=3, m= 2$, est : \item B demance un lancer supplémentaire \item A tire face \item B déclare que la pièce 1 a été choisie -\end{itemize} +\end{itemize} \normalsize Dans ce cas, B a demandé 2 lancers supplémentaires, ce qui est bien inférieur ou égal à $n=3$, et sa déclaration était juste donc son score est $-1-1+2=0$. \q Quelle est la meilleure stratégie pour B (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? From 7974ed99adbd3aed03d117fa4a30f17b9a15f0cf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Sat, 9 Dec 2023 17:01:57 +0100 Subject: [PATCH 10/14] correction typos piece truquee --- src/piece_truquee.tex | 38 +++++++++++++++----------------------- 1 file changed, 15 insertions(+), 23 deletions(-) diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index 71829af..8157d01 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -25,45 +25,37 @@ Dans ce cas, B a fait une première prédiction juste et une deuxième prédicti \item il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? \end{enumerate} -Maintenant $B$ veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in P$ où $P$ est une partie de $[0,1]$. +Maintenant B veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Il ne connaît pas la valeur de $p$ mais il sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$. -Une \emph{stratégie} pour B est donc une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question 1 donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. +Une \emph{stratégie} pour B est une manière de choisir quelle prédiction il va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}=\min_{p\in P} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. -\q Si $P=[0,1]$ (ie. on n'au aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? +\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? -\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si +\q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},P}$ et quel est-il si : \begin{enumerate} \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ? \item $\mathcal{P}=[0,1]$ ? \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? \end{enumerate} -A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Il commence par choisir au hasard une deux deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. +A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que le joueur B connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$. -\q Quel est l'espérance du gain de B dans ce cadre pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle stratégie est la meilleure possible (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? +\q Quel est l'espérance du gain de B pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ? -B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Comme précédemment, A lance plusieurs fois la pièce la pièce mais, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. +\medskip -Un exemple de partie, pour $n=3, m= 2$, est : -\small \begin{itemize}[itemsep=0pt] - \item A choisit la pièce 1 - \item A tire pile - \item B demance un lancer supplémentaire - \item A tire face - \item B demance un lancer supplémentaire - \item A tire face - \item B déclare que la pièce 1 a été choisie -\end{itemize} \normalsize -Dans ce cas, B a demandé 2 lancers supplémentaires, ce qui est bien inférieur ou égal à $n=3$, et sa déclaration était juste donc son score est $-1-1+2=0$. +B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. A lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, B peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon lui, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. B gagne $m$ point si sa déclaration est correcte (et aucun point s'il se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. -\q Quelle est la meilleure stratégie pour B (celle qui maximise l'espérance du gain obtenu) ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? +\q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? -Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce $1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce $2$ pour les lancers $K, ..., n$. B B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$. +\medskip + +Désormais, A possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. B connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$. \q B doit deviner quel $K$ a été choisi par A. \begin{enumerate} - \item Il annonce sa prédiction après les $N+1$ lancers. Quelle stratégie lui permet de maximiser la probabilité d'avoir raison ? Quelle est alors cette probabilité ? - \item Après chaque lancer, $B$ peut décider de continuer ou annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. S'il a raison, il gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si il fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m Date: Sat, 9 Dec 2023 18:31:16 +0100 Subject: [PATCH 11/14] Update 'src/triominos.tex' --- src/triominos.tex | 71 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 69 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index d18e971..0d73c72 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -2,6 +2,73 @@ Énoncé -\q Première question +\graphicspath{ {./images/} } -\q Deuxième question +On considère un pavage triangulaire du plan comme illustré ci-dessous. + +\begin{figure}[h] +\includegraphics[scale=0.2]{Pavage.png} +\centering +\end{figure} + +Nous allons placer sur ce pavage des pièces de triomino qui sont des triangles équilatéraux sur lesquels sont inscrits dans chaque coin des numéros non nécéssairement distincts parmi $1, \dots, n$ où $n \in \mathbb{N}^{*}$ fixé. +Deux triominos peuvent se trouver à côté seulement si les numéros inscrits dans les coins de ces deux triangles coincident, comme le montre l'illustration suivante : + +\begin{figure}[h] +\includegraphics[scale=0.3]{Triangle 1.png} +\centering +\end{figure} + +Dans la première partie de ce problème, on s'intéresse à une variante plus simple des triominos : les trominos modifiés, dans laquelle les numéros sont inscrits non pas sur les coins du triangle mais sur les côtés du triangle. + +\begin{figure}[h!] +\includegraphics[scale=0.3]{Triangle 2.png} +\centering +\end{figure} + +Nous allons étudier la faisabilité de la construction de certaines formes géométriques à l'aide de ces triominos modifiés. La seconde partie et la troixième partie s'intéresse à des propriétés analogues pour le jeu du triomino classique tel que décrit précédemment. + +Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariantes par rotation, c'est-à-dire que tourner une pièce redonne la même pièce mais les pièces ne sont pas invariantes par symétrie, c'est-à-dire que retourner une pièce ne redonne pas la même pièce. Ainsi, les deux pièces ci-dessous sont considérés comme deux pièces distinctes. + +\begin{figure}[h!] +\includegraphics[scale=0.3]{Symetrie.png} +\centering +\end{figure} + +On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe. + + +\subsection{Partie 1: Triominos modifiés} + +Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact. + +\q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ? + +\q 2.a) Réaliser une ligne droite utilisant toutes les pièces pour les cas : n = 2, 3 et 4. + +\q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ? + +\subsection{Partie 2 : Sous-ensemble de triominos} + +On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents. + +\q 1) Combien y a-t-il de pièces ? + +\q 2) Existe t-il une ligne droite avec toutes les pièces si : +a) $n = 2$ +b) $n \geq 4$ pair +c) $n$ impair + +\q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? + +\subsection{Partie 3 : Triomino classique} + +On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces. + +\q 1) Combien y a-t-il de pièces ? + +\q 2) Existe-t-il toujours une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? + +\q 3) Existe-t-il toujours une ligne droite utilisant toutes les pièces ? + +\q 4) Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ? From 1e738064b0b5b22884bbd0779220c87ff073bd27 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Antoine_Merceron Date: Sat, 9 Dec 2023 18:33:47 +0100 Subject: [PATCH 12/14] Upload files to 'src' --- src/Pavage.png | Bin 0 -> 62660 bytes src/Symetrie.png | Bin 0 -> 9470 bytes src/Triangle 1.png | Bin 0 -> 17346 bytes src/Triangle 2.png | Bin 0 -> 30893 bytes 4 files changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) create mode 100644 src/Pavage.png create mode 100644 src/Symetrie.png create mode 100644 src/Triangle 1.png create mode 100644 src/Triangle 2.png diff --git a/src/Pavage.png b/src/Pavage.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f43eb2f37f689408dde0a226b5f3b6541cd5f222 GIT binary patch literal 62660 zcmbS!dmvQ#`~RS{yOgaqBC&0oN}-yBjHA14BfCo_M7oWdkfw{?) zrt%qyM4G+xn{7XkNT1>)(v0suk%j-WHp9>!{v}2K!DI_5wNjN2!VKzWv&|&Z?;&y{ z4l_ai^wc-|=_JzXZ;5}T&U>6OBasCAcW&Ek>1Ow8H1CRS9jA?#XRaCH zw{4P&yX5!f`q&#wFZf+p{Lj4IZM&+L=|5ez;=6R2nLozQS;UapA_ 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$Y4kL&6#5Oz0!@%!|NB_Hc$!w2aGd$r?HHeYVTyeWO2KJF?^+oNE~ zboV%OR~0zJtkr=S$G2tz^9Y|UoAPgv1{b(JhGLC#mC0~Gd^8jOuq9O!m)DXA^t$s} zFbNy>xX^}pl_Xv&!YAfGw16R8-f}z3Vm8Xr& Date: Tue, 12 Dec 2023 07:14:43 +0100 Subject: [PATCH 13/14] changement figures --- src/triominos.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index 0d73c72..d2bed65 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -7,7 +7,7 @@ On considère un pavage triangulaire du plan comme illustré ci-dessous. \begin{figure}[h] -\includegraphics[scale=0.2]{Pavage.png} +\includegraphics[scale=0.4]{src/Pavage.png} \centering \end{figure} @@ -15,14 +15,14 @@ Nous allons placer sur ce pavage des pièces de triomino qui sont des triangles Deux triominos peuvent se trouver à côté seulement si les numéros inscrits dans les coins de ces deux triangles coincident, comme le montre l'illustration suivante : \begin{figure}[h] -\includegraphics[scale=0.3]{Triangle 1.png} +\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 1.png} \centering \end{figure} Dans la première partie de ce problème, on s'intéresse à une variante plus simple des triominos : les trominos modifiés, dans laquelle les numéros sont inscrits non pas sur les coins du triangle mais sur les côtés du triangle. \begin{figure}[h!] -\includegraphics[scale=0.3]{Triangle 2.png} +\includegraphics[scale=0.5]{src/Triangle 2.png} \centering \end{figure} @@ -31,7 +31,7 @@ Nous allons étudier la faisabilité de la construction de certaines formes géo Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariantes par rotation, c'est-à-dire que tourner une pièce redonne la même pièce mais les pièces ne sont pas invariantes par symétrie, c'est-à-dire que retourner une pièce ne redonne pas la même pièce. Ainsi, les deux pièces ci-dessous sont considérés comme deux pièces distinctes. \begin{figure}[h!] -\includegraphics[scale=0.3]{Symetrie.png} +\includegraphics[scale=0.5]{src/Symetrie.png} \centering \end{figure} From 665b303b6c1ca5e0d0f2ef1fa6c53f11595ce0ba Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Nathana=C3=ABl?= Date: Tue, 12 Dec 2023 23:20:15 +0100 Subject: [PATCH 14/14] =?UTF-8?q?sujet=20d=C3=A9pollution=20seine?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/depollution_seine.tex | 231 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 222 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/src/depollution_seine.tex b/src/depollution_seine.tex index d2a5507..96a38d6 100644 --- a/src/depollution_seine.tex +++ b/src/depollution_seine.tex @@ -1,27 +1,240 @@ + +\documentclass[a4paper,12pt]{amsart} + +% Variables +\newcommand{\numeroTournoi}{13} +\newcommand{\version}{1.0} + +% Encodage +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[french]{babel} +\renewcommand{\contentsname}{Table des matières} + +% Titres +\newcommand{\tfjm}{$\mathbb{TFJM}^2$} +\newcommand{\titre}{Probl\`emes du \numeroTournoi\textsuperscript{\`eme} \tfjm} +\newcommand{\titreLong}{Problèmes du \numeroTournoi\textsuperscript{ème} Tournoi Français \\ des Jeunes Mathématiciennes et Mathématiciens} +\title[\titre]{TFJM\textsuperscript{2} 2022: Fiches du jury} +\author{version \version\, mise à jour le \today} + +% Mise en page +\usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry} +\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd,mathrsfs,mathtools,stmaryrd,mathptmx} +\usepackage[backref,colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=black,pdftex]{hyperref} +\usepackage{xfrac} +\usepackage{array} +\usepackage[all]{xy} +\usepackage{paralist} +\usepackage{lmodern} +\usepackage{upgreek} +\usepackage{multicol} +\usepackage{caption} +\usepackage{enumitem} +\usepackage{xspace} +\usepackage{subcaption} + +\usepackage{xcolor} +\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}} + +% FancyHeader +\usepackage{fancyhdr} +\pagestyle{fancy} +\fancyhead[L]{\textsc{\titre}} +\fancyhead[R]{\thepage} +\fancyfoot[C]{ } +\setlength{\headheight}{15.5pt} + +% TIKZ +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{decorations} +\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} +\usetikzlibrary{shapes.geometric} +\usetikzlibrary{calc} +\usetikzlibrary{arrows} +\usetikzlibrary{shapes.misc} +\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} + +% Commandes Benoit +\usepackage[nomessages]{fp} +\newcommand{\orangeAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{red} #1}} +\newcommand{\bleuAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{bleuAnimath} #1}} + +% Commandes mathématiques +\renewcommand{\leq}{\leqslant} +\renewcommand{\geq}{\geqslant} +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\C}{\mathbb{C}} + +% Questions +\newcounter{question} +\newcommand{\nextpb}{\bigskip \begin{center} $\ast \; \ast \; \ast$ \end{center} \setcounter{question}{0}} +\newcommand{\nextPB}{\begin{center}$\ast~~\ast~~\ast$\end{center}\newpage\setcounter{question}{0}} +\newcommand{\q}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\,} +\newcommand{\qnospace}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\, \vspace*{-6.5mm}} +\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} +\newtheorem{thm}{Théorème}[section] +\newtheorem{lemme}{Lemme}[section] +\newtheorem{rem}{Remarque}[section] +\newtheorem{ques}{Question}[section] + +%----------------------------------------------------------------------------------------------- + +% Couleurs officielles: +\definecolor{orangeAnimath}{RGB}{234,94,0} +\definecolor{bleuAnimath}{RGB}{0,159,227} + +\begin{document} + +\newgeometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm} +\setlength{\footskip}{14.0pt} +\maketitle +\thispagestyle{empty} + +\textbf{Avertissement :} +Le contenu de ces fiches doit rester confidentiel jusqu'au tournoi national ! Même si vous encadrez une équipe, vous ne devez pas diffuser son contenu aux élèves au risque de dénaturer le tournoi ! + +\tableofcontents + +\newpage + \section{Dépollution de la Seine} -Pour préparer les Jeux Olympiques de 2024, les organisateurs ont besoin de dépolluer des bassins alimentés par la Seine. Une équipe de biologistes a découvert une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Pour éviter tout risque pour les baigneurs, ces bactéries ne survivent et ne se multiplient que dans l'eau polluée. Les bactéries dans l'eau propre meurent instantanément. Les bactéries dans l'eau polluée meurent au bout de $D$ jours (où $D$ est un entier strictement positif). Les bactéries dans l'eau polluée dépolluent l'eau en exactement $E$ jours (où $E$ est un entier strictement positif). Chaque jour, les bactéries dans l'eau polluée se multiplient. Si les bactéries occupaient un volume $v(T)$ d'eau le jour $T$, alors le jour $T+1$, de nouvelles bactéries naissent et occupent un volume d'eau égal à $v(T+1) = K v(T)$ (où $K$ est un réel strictement positif). Si $K v(T) > V$, on a alors $v(T+1) = V$ et le bassin est dit entièrement dépollué. On ne sait pas si l'eau que les nouvelles bactéries occuperont était déjà dépolluée, occupée par des bactéries ou non. +Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau +Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v(0)\in ]0,V[$. Le jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), on note $v(T)$ le volume occupé par les bactéries. La population de bactéries se comporte de la manière suivante: +\begin{itemize} + %\item Le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$), les bactéries occupent un volume $v(T)\in[0,V]$; + \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre; + \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction). Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin; + \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le jour $T+1$. +\end{itemize} -Au départ, un bassin de $V \, m^3$ d'eau ne contient que de l'eau polluée et on y place des bactéries dans un volume $v(0) < V$ d'eau. +Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On pose: $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. -On suppose pour l'instant $D=E=1$. +\q Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0 0$ (car on considère que le terme en $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable). + +\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau polluée, puis dans de l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas-là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ? + +\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans de l'eau propre, puis dans de l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire. +\begin{enumerate} +\item Étudier l'évolution de la suite $v(T)$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle? +\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? +\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v(0)$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? +\item Étudier les cas $K>4$ et $2K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ? +%\begin{enumerate} +%\item Dans un premier temps, +%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? +%\end{enumerate} + + + + + +\q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $01$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si +\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\] +Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est +\[ +\left\{ +\begin{array}{ll} +\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\ +\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\ +\end{array}\right. +\] + +b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau + +(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$). + +(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$. + +(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra. + +(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer. + +(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ? + +Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$. + +\q (moyen-difficile) + +\q +\begin{enumerate} +\item $K\in[0,4]$ +\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale} +\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations. +\end{enumerate} + +\q (moyen) + +\q (difficile) + +\q (ouvert) b) un peu ambiguë? + +\nextPB + +\end{document}