corrections dans le pb 4

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@@ -3,9 +3,10 @@ Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, al
 
 Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in ]0,V[$. On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
 \begin{itemize}
-    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre;
-    \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas. Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin;
-    \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le midi du jour $T+1$.
+    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre.
+    \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
+    \item Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin (précisé plus bas).
+    \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile (elle dépolluera l'eau où elle se trouve le midi du jour $T+1$).
 \end{itemize}
 
 Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
@@ -14,7 +15,7 @@ Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries fi
 
 \medskip
 
-Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (autrement dit, on considère que le terme $-\frac{v^2}{V}$ est négligeable sauf dans la dernière question).
+Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (autrement dit, on considère que le terme $-\frac{v^2}{V}$ est négligeable, sauf dans la dernière question).
 
 \q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ?
 
@@ -35,33 +36,33 @@ Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) =
 
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-On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée au coucher du Soleil. Les bactéries filles se trouveront réparties à minuit dans les mêmes proportions que la nature de l'eau (polluée ou propre): s'il y a $a_T V$ d'eau polluée et $b_T V$ d'eau propre au coucher du Soleil, avec $a_T + b_T =1$, alors à minuit il y a $f\big( v_T \big) a_T$ volume d'eau polluée occupé par les bactéries filles et $f\big( v_T \big) b_T$ volume d'eau propre occupé par les bactéries filles qui vont donc mourir sans se reproduire le lendemain midi.
+On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée entre le coucher du Soleil et minuit. A minuit, les bactéries se trouveront donc proportionnellement réparties dans l'eau propre et polluée : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$), alors les volumes de bactéries dans l'eau propre et polluée seront respectivement $f\big( v_T \big) a_T$ et $f\big( v_T \big) b_T$.
 
 \q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K$ et $v_0$ pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
 
-L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque soir, on fait rentrer dedans la quantité $w \in [0,V]$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée. L'eau s'évapore dans les mêmes proportion que son état l'après midi: si lorsque les bactéries ont dépollué l'eau où elles se trouvent il reste $a'_T V$ quantité d'eau polluée et $b'_T$ quantité d'eau propre, alors il s'évapore $a'_T w$ quantité d'eau polluée et $b'_T V$ quantité d'eau propre, remplacée par $w$ quantité d'eau polluée le soir avant le brassage.
+\medskip
 
-\q On note $u_T$, avec $0 \leqslant u_T \leqslant V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. Trouver autant de conditions nécessaires/suffisantes que possibles sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que:
+L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, entre midi et le coucher du Soleil, un volume $w\in[0,V]$ d'eau s'évapore. Elle est remplacé par la même quantité d'eau polluée au coucher du Soleil avant le brassage. La proportion d'eau polluée dans l'eau évaporée est la même que celle dans le bassin : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$) alors les volumes d'eau propre et polluée évaporés sont $a_Tw$ et $b_Tw$ respectivement.
+
+\q On note $u_T$, avec $0 \leq u_T \leq V$, la quantité d'eau propre dans le bassin le matin du jour $T$. Trouver des conditions nécessaires/suffisantes sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que:
 \begin{enumerate}
-\item la suite $(u_T)$ admette une limite (et estimer pour chaque condition cette limite en fonction de $K$, $w$ et $v_0$);
-\item la suite $(u_T)$ soit périodique (et estimer pour chaque condition la période en fonction de $K$, $w$ et $v_0$).
+\item la suite $(u_T)$ admette une limite, et estimer dans ce cas la limite en fonction de $K$, $w$ et $v_0$;
+\item la suite $(u_T)$ soit périodique, et estimer dans ce cas la période en fonction de $K$, $w$ et $v_0$.
 \item \'Etudier le plus généralement possible la suite $u_T$.
 \end{enumerate}
 
 \medskip 
 
-\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage ni d'évaporation et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v_T) = K_1 v_T$ et s'il pleut, on a $f(v_T) = K_2 v_T$ avec $K_1>K_2>0$. Il pleut exactement un jour sur deux: s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Le jour $T=0$, il fait beau.
-Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué ?
+Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage ni d'évaporation mais que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v_T) = K_1 v_T$ et s'il pleut, on a $f(v_T) = K_2 v_T$ avec $K_1>K_2>0$ (avec toujours $f(v_T) V$ si $K_1 v_T>V$ ou $K_2 v_T>V$). Il pleut exactement un jour sur deux : s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Le jour $T=0$, il fait beau.
+
+\q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué ?
 
 %\begin{enumerate}
 %\item Dans un premier temps, 
 %\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? 
 %\end{enumerate}
 
-\q On retourne au cas exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
-%L'eau propre redevient polluée chaque jour.
-
-Décrire le comportement de la suite $v_T$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$, d'abord dans les cas extrêmes où $w=V$ (toute l'eau s'évapore), puis $w=0$ (l'eau ne s'évapore pas), puis le cas général.
+\q On revient pour finir dans le cas général exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. Décrire le comportement de la suite $v_T$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$, d'abord dans les cas extrêmes où $w=V$ (toute l'eau s'évapore), puis $w=0$ (l'eau ne s'évapore pas), puis le cas général.
 
 %\begin{enumerate}
 %\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?