From af8efa8c52b8cda412e087f6885e1a3c7fbfe458 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Antoine_Merceron Date: Sat, 23 Dec 2023 17:46:33 +0100 Subject: [PATCH] Modification Triomino --- src/triominos.tex | 37 +++++++++++++++++++++++++------------ 1 file changed, 25 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index 63c30c9..99838be 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Triominos} -Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté. +Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté. \begin{center} \begin{figure}[h] \begin{tikzpicture} @@ -14,7 +14,7 @@ Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des pièces \end{figure} \end{center} -Alexander décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident toujours. +Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident toujours. \begin{center} \begin{figure}[h] @@ -59,15 +59,13 @@ Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à par \end{figure} \end{center} -Alexander possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$. +Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$. -\q Combien Alexander possède-t-il de triominos ? - -\q Pour quels $n$ est-il possible de trouver une configuration utilisant toutes les pièces ? +\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ? \medskip -Alexander souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante : +Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante : \medskip @@ -79,13 +77,14 @@ Alexander souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante \end{tikzpicture} \end{center} -\q Pour quels $n$ Alexander peut-il disposer tous les triominos en ligne droite ? On pourra commencer par regarder les cas $n=2,3,4$. +\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=2$ ? $n=3$ ? $n=4$ ? -\q Estimer, en fonction de $n$, la taille du plus grand losange qu'Alexander peut former avec ses triominos. +b) Et pour $n$ quelconque ? -\medskip -Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommets des triangles. Alexander souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident. +Une configuration est dite \textit{connexe} si, pour tout couple de triominos, il existe une suite de triominos adjacents, c'est-à-dire tel que deux triominos consécutifs partagent un côté en commun, qui part de l'un pour aller jusqu'à l'autre. + +Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommets des triangles. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident. \begin{center} \begin{figure}[h] @@ -109,6 +108,20 @@ Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommet \end{figure} \end{center} -\q Reprendre les questions précédentes dans ce cas. +On suppose temporairement que parmi les trois nombres qui apparaissent sur chaque pièce, au plus deux sont différents. + +\q Combien y a-t-il alors de pièces ? + +\q Peut-on toujours disposer toutes les pièces en ligne droite ? + +\q Peut-on toujours réaliser une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? + + +On suppose désormais que le jeu d'Alice contient toutes les pièces possibles (avec les nombres se situant toujours dans les angles) + + +\q Reprendre les questions 3, 4 et 5 dans ce cas. + +\q Estimer, en fonction de $n$, la taille du plus grand losange qu'Alice peut former avec ses triominos. \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. \ No newline at end of file