From b564c26dbafba9a17744ffe0a20ce53e0d491461 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Benoit Date: Thu, 21 Dec 2023 22:44:12 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Mise=20=C3=A0=20jour=20de=20'src/brioches.tex'?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/brioches.tex | 66 ++++++++++++++++++++++++------------------------ 1 file changed, 33 insertions(+), 33 deletions(-) diff --git a/src/brioches.tex b/src/brioches.tex index a183fba..946700e 100644 --- a/src/brioches.tex +++ b/src/brioches.tex @@ -16,44 +16,44 @@ On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de \begin{figure}[ht] - \centering - \begin{tikzpicture}[scale=1] - \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle; - \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); - \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2); - - \draw (0,0) -- (2,0); - \end{tikzpicture} - \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.} - \label{fig:pate_basique} + \centering + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle; + \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); + \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2); + + \draw (0,0) -- (2,0); + \end{tikzpicture} + \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.} + \label{fig:pate_basique} \end{figure} \begin{figure}[ht] - \centering - \begin{tikzpicture}[scale=1] - \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle; - \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); - \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1); - - \draw (0,0) -- (2,0); - - \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5); - \draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2); - \draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2); - \end{tikzpicture} - \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.} - \label{fig:pate_complexe} + \centering + \begin{tikzpicture}[scale=1] + \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle; + \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2); + \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1); + + \draw (0,0) -- (2,0); + + \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5); + \draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2); + \draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2); + \end{tikzpicture} + \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.} + \label{fig:pate_complexe} \end{figure} \'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes: \begin{enumerate} - \item un disque de rayon $R$; - \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$; - \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$; - \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$). + \item un disque de rayon $R$; + \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$; + \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$; + \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$). \end{enumerate} -\textcolor{red}{faire des figures pour les brioches.} +\textcolor{red}{Ajouter des figures pour les formes de brioches a), b), c), d).} \q La forme a) est-elle une brioche ? Même question pour chacune des formes b), c) et d). @@ -65,7 +65,7 @@ La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire une brioche est la somme des \medskip -La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. On dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r \geqslant 0$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. +La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geqslant 0$ fixé, on dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. On appelle $r$-\textbf{brioche du plan}, ou plus simplement $r$-brioche, une brioche qu'\'Eric peut réaliser avec un outil de précision $r$. En particulier, les $0$-brioches sont exactement les brioches, et toute $r$-brioche est une brioche. @@ -95,11 +95,11 @@ Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duque Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que : \begin{itemize} - \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$, - \item pour toute autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$. + \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$, + \item pour toutes les autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$. \end{itemize} -\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $(x(t),y(t))$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche. +\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\big(x(t),y(t)\big)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche. \q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas une $r$-brioche ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ?