Update ping pong et pièce truquée

src/piece_truquee.tex

@@ -38,7 +38,7 @@ Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédicti
 	\item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ?
 \end{enumerate}
 
-A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$, $q$.
+A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$ et $q$.
 
 \q Quel est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ?
 

src/ping_pong.tex

@@ -61,31 +61,31 @@ Au départ, les joueuses sont dans une certaines configuration initiale, puis el
 
 Une configuration est dite \emph{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.
 
-\q{1}
+\q
 On se fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
 %Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon.
 
-\q{2}
+\q
 Estimer le nombre de configurations stables en fonction de $n$.
 %Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable.
 
-\q{3}
+\q
 Montrer qu'après un nombre de tours suffisant, les joueuses atteindront forcément une configuration stable.
 %Montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser.
 
-\q{4}
+\q
 Donner un encadrement en fonction de $n$ du plus grand nombre possible de tours qui peuvent être nécessaires pour atteindre une configuration stable.
 %L'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident.
 
-\q{5}
+\q
 Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq j \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $j$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre une fois ?
 %En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité).
 
-\q{6}
+\q
 On se donne $1 \leq j < k \leq n$. En fonction de $j$ et $k$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $j$ puis se stabilise plus tard à la table $k$ ?
 %À réflechir.
 
-\q{7}
+\q
 Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matches puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
 \begin{itemize}
 \item Donner des exemples de mots inscriptibles et de mots non inscriptibles.
@@ -94,6 +94,6 @@ Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme s
 \end{itemize}
 %Exemples : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$. Je pense que tous les mots de longueur $n$ sont inscriptibles, mais ça a l'air dur (j'y arrive pour $n/2$).
 
-\q{8}
+\q
 Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Essayer de généraliser.
 %À peu près $1/6$ : il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$.