From d1e88b2bd48a29b9a9feb547a9bc56bd88c3f33a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unknown Date: Mon, 25 Mar 2024 11:45:52 +0100 Subject: [PATCH] chgmt de nom des fichiers --- fiches/brioches-fiche.tex | 5 -- index.tex | 2 +- index_avec_fiches.tex | 4 +- src/brioches.tex | 109 -------------------------------------- 4 files changed, 3 insertions(+), 117 deletions(-) delete mode 100644 fiches/brioches-fiche.tex delete mode 100644 src/brioches.tex diff --git a/fiches/brioches-fiche.tex b/fiches/brioches-fiche.tex deleted file mode 100644 index a7dfa07..0000000 --- a/fiches/brioches-fiche.tex +++ /dev/null @@ -1,5 +0,0 @@ -\section*{Eléments de réponse} - -\q (facile) Réponse à la première question. - -\q (moyen) Réponse à la deuxième question. diff --git a/index.tex b/index.tex index 1dc6132..be5a72d 100644 --- a/index.tex +++ b/index.tex @@ -136,7 +136,7 @@ $PPCM(u,v)$ & plus petit entier positif divisible à la fois par $u$ et $v$\\ \nextpb \input{src/piece_truquee.tex} \nextpb -\input{src/brioches.tex} +\input{src/drôles_de_cookies.tex} \nextpb \input{src/oracle.tex} \nextpb diff --git a/index_avec_fiches.tex b/index_avec_fiches.tex index 3ddff6a..d99d096 100644 --- a/index_avec_fiches.tex +++ b/index_avec_fiches.tex @@ -139,10 +139,10 @@ Le contenu de ces fiches doit rester confidentiel jusqu'au tournoi national ! M \nextPB -\input{src/brioches.tex} +\input{src/drôles_de_cookies.tex} \setcounter{question}{0} -\input{fiches/brioches-fiche.tex} +\input{fiches/drôles_de_cookies-fiche.tex} \nextPB diff --git a/src/brioches.tex b/src/brioches.tex deleted file mode 100644 index cb12b0a..0000000 --- a/src/brioches.tex +++ /dev/null @@ -1,109 +0,0 @@ -\section{Drôles de cookies} - -Fabrice a décidé de faire des cookies aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm. Il dispose d'une poche à douille qui lui permet de déposer comme il le souhaite de la pâte à cookie dans le plan suivant un nombre fini de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$). En chaque point $P$ de l'un de ces segments, la poche à douille permet à Fabrice de déposer de la pâte en quantité $R(P)\geq 0$ plus ou moins importante. - -Lorsqu'elle est au four, la pâte s'étale et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où Fabrice met de la pâte. La pâte de Fabrice ne se repousse pas elle même. Par exemple si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte s'étalera en un cookie de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement. La forme du cookie après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$ où $P$ parcourt l'ensemble des points où Fabrice a mis de la pâte. - -On appelle \textbf{cookie du plan}, ou plus simplement cookie, un ensemble de points du plan telle que la pâte de Fabrice peut s'étaler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé. - -La figure \ref{fig:pate} représente deux exemples de cookies. Le cookie orange est obtenu en étalant une pâte de rayon constant égal à $1$ sur un segment de longueur $1$. Le cookie bleu est obtenu à partir d'un segment de pâte de rayon variable et d'un autre point de pâte. - -\begin{figure}[!ht] - \centering - \begin{tikzpicture} - \begin{scope}[scale=1.5] - \fill[orangeAnimath] (0,1) arc (90:270:1) -- ++(1,0) arc (-90:90:1) -- cycle; - \draw [thick] (0,0) -- ++(1,0); - \draw[dashed, semitransparent] (0.3,0) node{\small $\times$} node[below]{$P_1$} - circle (1) -- ++(-0.8,0.6) node[midway,sloped,above]{\footnotesize $R(P_1)$}; - \end{scope} - - \begin{scope}[scale=1,shift={(6,0)}] - \fill[bleuAnimath] (105:1.5) arc (105:345:1.5) -- ++(75:{sqrt(3)/2}) arc (-15:105:1) -- cycle; - \fill[bleuAnimath] (2,0) circle (1); - \draw [thick] (0,0) -- ++(45:1); - \draw [ultra thick] (2cm-1pt,0) -- (2cm+1pt,0); - \foreach \i in {0.2,0.8} { - \draw[dashed,semitransparent] (45:\i) node{\small $+$} circle ({1.5-\i/2}); - } - \draw[dashed,semitransparent] (2,0) node{\small $\times$} circle (1); - \end{scope} - \end{tikzpicture} - \caption{Deux exemples de cookies.} - \label{fig:pate} -\end{figure} - -Fabrice aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes : -\begin{enumerate} - \item un disque de rayon $R$; - \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$; - \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$; - \item un anneau de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $R_2>R_1$), les deux cercles qui constituent le bord de l'anneau étant inclus dans le cookie. -\end{enumerate} - -\begin{center} -\begin{tikzpicture} -\fill[orangeAnimath] (0,0) circle (1); -\draw (0,0) -- (1,0) node[midway,above]{$R$}; -\fill[bleuAnimath] (2,-0.5) -- ++(0,1) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,0) node[black,midway,above]{$b$} -- ++(0,-1) -- cycle; -\fill[orangeAnimath] (5,-1) -- ++(1,2) node[black,midway,left]{$a$} -- ++(2,-2) node[black,midway,above right]{$b$} -- cycle node[black,midway,below]{$c$}; -\fill[bleuAnimath,even odd rule] (10,0) circle(0.8) circle(1.2); -\draw (10,0) -- ++(0:0.8) node[midway,below]{$R_1$}; -\draw (10,0) -- ++(30:1.2) node[midway,above]{$R_2$}; -\end{tikzpicture} -\end{center} - -\q La forme a) est-elle un cookie ? Même question pour chacune des formes b), c) et d). - -\medskip - -La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Fabrice place de la pâte. - -\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Fabrice peut-il la réaliser ? - -\medskip - -La précision de la poche à douille de Fabrice étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Fabrice est de précision~$r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Fabrice. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Fabrice peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$. - -En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie. - -\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-cookies, en fonction de $r$. - -\q On suppose dans cette question que Fabrice réalise un $r$-cookie sans faire de segment de longueur $0$ et tel qu'il est impossible d'obtenir la même forme en utilisant strictement moins de pâte. Est-il possible qu'une répartition différente de la même quantité de pâte permette d'obtenir le même $r$-cookie, toujous sans segment de longueur $0$ ? - -%\q Si $R(P)=r$ ne dépend pas de P, quelles valeur peut prendre le rapport entre la quantité de pâte nécessaire et l'aire de la brioche après cuisson ? - -%\q Eric souhaite faire des brioches d'un seul tenant (il est toujours possible de faire un chemin de segments consécutifs dans la brioche qu'il obtient) [i.e. connexes par arcs + connexe ]. Parmi les points où Eric a placé de la pâte, est-il toujours possible de trouver un chemin de segments de pâte reliant deux points $P$ et $P'$. - -%\q En fait, Eric se rend compte qu'il regardait ses brioches gonfler par au-dessus mais qu'elle gonfle en fait dans l'espace et non pas dans le plan. La brioche occupe alors la réunion des boules de centre P et de rayon $R(P)$ (où les points $P$ où Eric place de la brioche sont toujours dans le plan). Quel est alors le volume que prend la brioche si la forme vue au-dessus est : -%\begin{enumerate} -% \item un disque de rayon $R$ ? -% \item un carré de côté $C$ ? -% \item Un rectangle de côté $a$ et $b$ ? -%\end{enumerate} - -\medskip - -Fabrice s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Pour cela on suppose qu'il dispose de deux fonctions continues $x : \R \to \R$ et~$y : \R \to \R$ qui vérifient les propriétés suivantes : - -\begin{itemize} - \item elles sont 1-périodiques, c'est-à-dire que $x(t+1) = x(t)$ et $y(t+1) = y(t)$ pour tout $t$ réel, - \item pour toutes valeurs de $t$ et $t'$, on a simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$ si et seulemlent si la différence $t-t'$ est entière. -\end{itemize} - -Fabrice trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}. Il cherche maintenant à savoir si la partie du plan que le contour délimite (que l'on suppose bien définie) est un~$r$-cookie. - - -\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un~$r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? - -\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit un cookie, mais qui ne soit un~$r$-cookie pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? - -%Existe-t-il des formes donc le contour est continu (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? - -%\q Existe-t-il des formes donc le contour est $C^1$ (je regarde l'intérieur d'un lacet simple continu) qui ne peuvent pas être obtenue avec un nombre fini de brioche ? Et si on est $C^1$ sauf en un nombre fini de points ? - -\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit un $r$-cookie. - -%\q Maintenant on souhaite que Eric soit "proche" de la forme finale (l'idée serait d'approximer un coin par exemple). On suppose qu'il essaie d'obtenir la forme A mais qu'il obtienne la forme B, on définit alors un coefficient $\rho(A,B):=\rho(A \Delta B)/\rho(A)$ qui estime à quel point on est proche de la bonne forme. Si $\rho=0$ on dira que B recouvre presque partout A. - -\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, par exemple en dimension $3$. \ No newline at end of file