Ajout asymptotique fiche oracle

En fait, cela ferme en partie la question du produit.

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@@ -2,7 +2,7 @@
 
 \q (Facile) Pour $N=3$, tout est admissible.
 
-A partir de $N=4$, on a le contre-exemple où une carte est associée à toutes les autres (ce qui traite 2.a), ainsi que celui du 3-cycle (ce qui traite 2.c))
+A partir de $N=4$, on a le contre-exemple où une carte est associée à toutes les autres (ce qui traite 2.a)), ainsi que celui du 3-cycle (ce qui traite 2.c))
 
 \q a) c) (Assez facile) Contre-exemple ci-dessus.
 
@@ -19,7 +19,9 @@ Pour les autres valeurs de $N$, tout est admissible.
 Il semble difficile de croire que des configurations qui vérifient la contraintes (c) ne seraient pas admissibles, en dehors des petits cas (notamment $N=6$).
 Par exemple (enfin, semi-exemple vu qu'en l'occurrence cela satisfait (c)), pour $N=6$, les 4 seules configurations non-admissibles sont $K_{3,3}$, la même mais avec une unique arête en plus qui relie un sommet de chaque côté, et leurs duaux.
 
-\q (Probablement ouvert) C'est peut-être fermé avec de l'asymptotique, cf premier élément pour la question 6.
+\q (Très difficile à Ouvert) Une manière de démontrer qu'il existe des configurations non-admissible est un argument combinatoire, cf ci-dessous. Mais je n'arrive pas à en expliciter.
+
+Il parait naturel qu'il en existe aussi avec les contraintes (a), (b) et (c), mais je n'ai pas plus cherché que ça.
 
 \q (Ouvert) Des calculs qui interviennent naturellement sont ceux de faire la combinatoire du nombre de combinaisons qu'on veut être capable de réaliser par rapport à la marge de manœuvre qu'on a.
 
@@ -30,10 +32,17 @@ $$ 2^k \times \frac{M!}{(M-N)!} $$
 
 Ainsi, si $k$ est petit et qu'en reste à $M=N$, on est en gros à $2^{N \log(N)}$, donc on voit déjà qu'il reste plein de configurations non-admissibles. C'est typiquement le cas de la somme.
 
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+
 Plus précisément, pour la somme, on a à peu de chose près $k = 2M$. Le terme de $2^k$ commence à peser autour de $M = N^2/4$, et celui en $\frac{M!}{(M-N)!}$ est alors majoré par $M^N$, qui est en $2^{2N \log(N)}$. On peut donc déjà voir que $M$ ne peut pas descendre en-dessous d'un truc en $N^2/4$.
 
-En revanche, pour le produit $k$ est a priori de l'ordre de $N^2$ donc on ne peut pas en tirer grand-chose.
-La suite précise est OEIS A027428. Je ne crois pas qu'une asymptotique soit connue, mais il ne me paraîtrait pas absurde qu'on arrive à démontrer que c'est significativement moins que $N^2$, au point que cela répondrait en fait à la question 5 dans le cas de base.
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+Pour le produit, la suite des produits qu'on peut faire avec les nombres de $1$ à $N$ est a priori en $O(N^2)$, cela ne suffit pas à conclure. La suite précise est OEIS A027428.
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+Selon mathoverflow.net/questions/31663/distinct-numbers-in-multiplication-table, ce serait plus précisément en $N^2 / \ln(N)^{\Omega(1)}$.
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+Cela est suffisamment petit pour voir que $M=N$ ne suffit pas, mais $M=N \ln(N)^{\Omega(1)}$ pourrait déjà suffire.
 
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@@ -49,4 +58,13 @@ Dernier idée pertinente : pour le PGCD, l'argument massue du PGCD à 1 fonction
 Plus précisément, le nombre de PGCD différents 1 pour les nombres de 1 à $M$ étant en $M^2 \left(1-6/\pi^2\right)$, il faut $M^2 \left(1-6/\pi^2\right) > N^2/2$, soit $M > N \sqrt{\frac{1}{2-12/\pi^2}}$ (valeur approchée de la constante : 1,129).
 
 On se rend ainsi compte que cet argument est nettement moins fort que le précédent qui donne, encore plus fort que pour la somme, une borne en $N^2/2$.
+NB : il y a mieux que la suite de Fibonacci pour ça, mais difficile de trouver une asymptotique.
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+Dernier idée pertinente : pour le PGCD, l'argument massue du PGCD à 1 fonctionne encore par mal, vu que la probabilité que 2 nombres soient premiers entre eux est en $6/\pi^2 > 1/2$. Donc si on prend $M$ trop proche de $N$ et un graphe avec la moitié des arêtes, c'est immédiatement clair que ce n'est pas admissible.
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+Plus précisément, le nombre de PGCD différents 1 pour les nombres de 1 à $M$ étant en $M^2 \left(1-6/\pi^2\right)$, il faut $M^2 \left(1-6/\pi^2\right) > N^2/2$, soit $M > N \sqrt{\frac{1}{2-12/\pi^2}}$ (valeur approchée de la constante : 1,129).
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+On se rend ainsi compte que cet argument est nettement moins fort que le précédent qui donne, encore plus fort que pour la somme, une borne en $N^2/2$.