From e1a9a9a8e3652534df4e6748409bcb41bee8c04f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Timothee Rocquet Date: Thu, 14 Dec 2023 15:49:48 +0100 Subject: [PATCH] creation de la fiche probleme de depollution de la seine --- fiches/depollution_seine-fiche.tex | 45 +++++++- index.tex | 2 +- src/depollution_seine.tex | 171 +---------------------------- src/triominos.tex | 7 -- 4 files changed, 46 insertions(+), 179 deletions(-) diff --git a/fiches/depollution_seine-fiche.tex b/fiches/depollution_seine-fiche.tex index df50ad4..e111171 100644 --- a/fiches/depollution_seine-fiche.tex +++ b/fiches/depollution_seine-fiche.tex @@ -1,5 +1,46 @@ \section*{Eléments de réponse} -\q (Facile) Première réponse +\q Notons plutôt $w(T) = v(T)/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K w(T)$ et $u(T)$ la proportion d'eau dépolluée. On a $u(0) = 0$ et $u(T) = \sum_{n=0}^{T-1} w(n)$. On a $K w(T) - u(T) \leqslant w(T+1) \leqslant K w(T)$. -\q (Moyen) Deuxieme réponse +a) (facile) Le cas d'égalité est réalisé pour la borne supérieure si les bactéries filles naissent chaque fois dans l'eau polluée. + +Si $K=1$, ça donne $w(T) \leqslant w(0)$ et $u(T) \leqslant T w(0)$. +Si $K \neq 1$, alors $w(T) \leqslant K^T w(0)$ et $u(T) \leqslant w(0) \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si +\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\] +Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est +\[ +\left\{ +\begin{array}{ll} +\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\ +\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\ +\end{array}\right. +\] + +b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau + +(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$). + +(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$. + +(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra. + +(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer. + +(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ? + +Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$. + +\q (moyen-difficile) + +\q +\begin{enumerate} +\item $K\in[0,4]$ +\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale} +\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations. +\end{enumerate} + +\q (moyen) + +\q (difficile) + +\q (ouvert) b) un peu ambiguë? diff --git a/index.tex b/index.tex index 50d943c..5863720 100644 --- a/index.tex +++ b/index.tex @@ -2,7 +2,7 @@ % Variables \newcommand{\numeroTournoi}{13} -\newcommand{\version}{1.3} +\newcommand{\version}{1.0} % Encodage \usepackage[utf8]{inputenc} diff --git a/src/depollution_seine.tex b/src/depollution_seine.tex index 96a38d6..0eea081 100644 --- a/src/depollution_seine.tex +++ b/src/depollution_seine.tex @@ -1,106 +1,3 @@ - -\documentclass[a4paper,12pt]{amsart} - -% Variables -\newcommand{\numeroTournoi}{13} -\newcommand{\version}{1.0} - -% Encodage -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage[french]{babel} -\renewcommand{\contentsname}{Table des matières} - -% Titres -\newcommand{\tfjm}{$\mathbb{TFJM}^2$} -\newcommand{\titre}{Probl\`emes du \numeroTournoi\textsuperscript{\`eme} \tfjm} -\newcommand{\titreLong}{Problèmes du \numeroTournoi\textsuperscript{ème} Tournoi Français \\ des Jeunes Mathématiciennes et Mathématiciens} -\title[\titre]{TFJM\textsuperscript{2} 2022: Fiches du jury} -\author{version \version\, mise à jour le \today} - -% Mise en page -\usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry} -\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd,mathrsfs,mathtools,stmaryrd,mathptmx} -\usepackage[backref,colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=black,pdftex]{hyperref} -\usepackage{xfrac} -\usepackage{array} -\usepackage[all]{xy} -\usepackage{paralist} -\usepackage{lmodern} -\usepackage{upgreek} -\usepackage{multicol} -\usepackage{caption} -\usepackage{enumitem} -\usepackage{xspace} -\usepackage{subcaption} - -\usepackage{xcolor} -\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}} - -% FancyHeader -\usepackage{fancyhdr} -\pagestyle{fancy} -\fancyhead[L]{\textsc{\titre}} -\fancyhead[R]{\thepage} -\fancyfoot[C]{ } -\setlength{\headheight}{15.5pt} - -% TIKZ -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{decorations} -\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} -\usetikzlibrary{shapes.geometric} -\usetikzlibrary{calc} -\usetikzlibrary{arrows} -\usetikzlibrary{shapes.misc} -\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing} - -% Commandes Benoit -\usepackage[nomessages]{fp} -\newcommand{\orangeAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{red} #1}} -\newcommand{\bleuAnimathsmall}[1]{{\scriptsize\color{bleuAnimath} #1}} - -% Commandes mathématiques -\renewcommand{\leq}{\leqslant} -\renewcommand{\geq}{\geqslant} -\newcommand{\N}{\mathbb{N}} -\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} -\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} -\newcommand{\R}{\mathbb{R}} -\newcommand{\C}{\mathbb{C}} - -% Questions -\newcounter{question} -\newcommand{\nextpb}{\bigskip \begin{center} $\ast \; \ast \; \ast$ \end{center} \setcounter{question}{0}} -\newcommand{\nextPB}{\begin{center}$\ast~~\ast~~\ast$\end{center}\newpage\setcounter{question}{0}} -\newcommand{\q}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\,} -\newcommand{\qnospace}{\stepcounter{question}\medskip \noindent\textbf{\thequestion.}\, \vspace*{-6.5mm}} -\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} -\newtheorem{thm}{Théorème}[section] -\newtheorem{lemme}{Lemme}[section] -\newtheorem{rem}{Remarque}[section] -\newtheorem{ques}{Question}[section] - -%----------------------------------------------------------------------------------------------- - -% Couleurs officielles: -\definecolor{orangeAnimath}{RGB}{234,94,0} -\definecolor{bleuAnimath}{RGB}{0,159,227} - -\begin{document} - -\newgeometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm} -\setlength{\footskip}{14.0pt} -\maketitle -\thispagestyle{empty} - -\textbf{Avertissement :} -Le contenu de ces fiches doit rester confidentiel jusqu'au tournoi national ! Même si vous encadrez une équipe, vous ne devez pas diffuser son contenu aux élèves au risque de dénaturer le tournoi ! - -\tableofcontents - -\newpage - \section{Dépollution de la Seine} Pour certaines épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, il faut dépolluer les bassins alimentés par la Seine. %Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau @@ -159,82 +56,18 @@ On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bass \medskip - - - \q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. Il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ? + %\begin{enumerate} %\item Dans un premier temps, %\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? %\end{enumerate} - - - - \q On retourne au cas général où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v(T)$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $01$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si -\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v(0) > (1-K) V\] -Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est -\[ -\left\{ -\begin{array}{ll} -\left\lceil \frac{V}{v(0)}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\ -\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v(0)}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\ -\end{array}\right. -\] - -b) et c) (moyen) Si $K < 1$ et qu'on peut dépolluer l'eau, comme $u(T)$ décroît vers $0$, on en déduit qu'il existe un jour où toutes les bactéries filles peuvent mourir. On ne peut pas être certain de dépolluer l'eau - -(facile) Si $K \leq 1$, dès le $2$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K v(0)$ (donc dépollué si $K v(0) \geq V$). - -(facile) Si $K \leq 2$, dès le $3$eme jour, les bactéries filles peuvent mourir. La quantité dépolluée du bassin sera au maximum de $K (K-1) v(0)$. - -(difficile) Si $2 < K < 4$, ça dépend de $v(0)$: parfois on ne pourra pas dépolluer, parfois on le pourra. - -(difficile) Si $K \geq 4$, il est toujours possible de dépolluer. - -(ouvert) Nombre de jours pour dépolluer ? - -Les valeurs propres du problème sont $0$ et $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$. - -\q (moyen-difficile) - -\q -\begin{enumerate} -\item $K\in[0,4]$ -\item (ouvert); difficulté: pas sûr que les stratégies optimales soient à chaque fois : \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau propre} et \emph{autant de bactéries que possible vont dans l'eau sale} -\item $K<1$: extinction; $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations. -\end{enumerate} - -\q (moyen) - -\q (difficile) - -\q (ouvert) b) un peu ambiguë? - -\nextPB - -\end{document} diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index d2bed65..d003920 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -37,9 +37,6 @@ Dans l'intégralité du problème, on considère que les pièces sont invariante On dira qu'une configuration de triangle est connexe si elle est en "un seul morceau", c'est-à-dire qu'elle peut s'obtenir à partir d'un triangle en accolant successivement un nouveau triangle aux triangles déjà présents sur le pavage. Par exemple, la configuration formé des deux triangles symétriques ci-dessus n'est pas connexe. - -\subsection{Partie 1: Triominos modifiés} - Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère nos "triominos modifié" où les nombres sont répartis sur les arêtes des triangles. On Deux triangles peuvent être mis l'un à coté de l'autre lorsque le même nombre figure sur les arrêtes en contact. \q 1) On considère toutes les pièces de triomino modifié que l'on peut former en utilisant les nombre de $1$ à $n$, en respectant l'invariance des pièces par rotation mais pas par symétrie. Combien y-a-t-il de pièces ? @@ -48,8 +45,6 @@ Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ un entier strictement positif fixé. On considère n \q 2.b) Peut-on toujours réaliser une ligne droite utilisant l'intégralité des pièces ? -\subsection{Partie 2 : Sous-ensemble de triominos} - On considère dorénavant les pièces de triominos classiques. Dans cette partie, on considerera uniquement les pièces qui parmi les 3 nombres qui les composent, n'en ont qu'au plus deux de différents. \q 1) Combien y a-t-il de pièces ? @@ -61,8 +56,6 @@ c) $n$ impair \q 3) Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? -\subsection{Partie 3 : Triomino classique} - On considère dorénavant un jeu de triomino "classique" muni de toutes ses pièces. \q 1) Combien y a-t-il de pièces ?