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modif après le fetch de Baptiste l'idiot
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e20ad9d93d
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@ -92,7 +92,7 @@
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\thispagestyle{empty}
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\section*{Préambule}
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Ces problèmes sont difficiles et sont proposés par des chercheurs et étudiants en mathématiques. Ils n'admettent jamais, à la connaissance du jury, de solution complète mais sont accessibles à des lycéens, c'est-à-dire que les auteurs sont certains qu'un travail de recherche élémentaire peut être mené sur ces problèmes. Le jury n'attend pas des candidats qu'ils résolvent entièrement un problème, mais qu'ils en comprennent les enjeux, résolvent des cas particuliers, repèrent les difficultés, démontrent des éléments et proposent des pistes de recherche. Attention, les questions ne sont pas toujours classées par ordre croissant de difficulté. Enfin, il n'est pas nécessaire de traiter tous les problèmes : chaque équipe peut en refuser un certain nombre sans pénalité. On se reportera au règlement pour plus de détails.
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Ces problèmes sont difficiles et sont proposés par des chercheurs et étudiants en mathématiques. Ils n'admettent jamais, à la connaissance du jury, de solution complète mais sont accessibles à des lycéens, c'est-à-dire que les auteurs sont certains qu'un travail de recherche élémentaire peut être mené sur ces problèmes. Le jury n'attend pas des équipes qu'elles résolvent entièrement un problème, mais qu'elles en comprennent les enjeux, résolvent des cas particuliers, repèrent les difficultés, démontrent des éléments et proposent des pistes de recherche. Attention, les questions ne sont pas toujours classées par ordre croissant de difficulté. Enfin, il n'est pas nécessaire de traiter tous les problèmes : chaque équipe peut en refuser un certain nombre sans pénalité. On se reportera au règlement pour plus de détails.
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Ces problèmes sont distribués sous licence \texttt{CC-BY-SA 4.0}. En cas de questions concernant le tournoi ou les énoncés, consulter le site \href{https://www.tfjm.org}{\texttt{www.tfjm.org}} ou contacter les organisateurs à l'adresse \href{mailto:contact@tfjm.org}{\texttt{contact@tfjm.org}}.
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@ -57,17 +57,13 @@ Fabrice aimerait notamment fabriquer les formes de cookie suivantes :
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La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Perrine place de la pâte.
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La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire un cookie est la somme des longueurs des segments où Fabrice place de la pâte.
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\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des cookies, avec quelles quantités de pâte Fabrice peut-il la réaliser ?
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La précision de l'outil de Perrine étant limitée, la quantité de pâte qu'elle dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Perrine est de précision~$r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Perrine. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Perrine peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
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La précision de la poche à douille de Fabrice étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Fabrice est de précision $r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Fabrice. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Fabrice peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
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La précision de la poche à douille de Fabrice étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. Pour un $r \geq 0$ fixé, on dit que l'outil de Fabrice est de précision~$r$ lorsque $R(P) \geq r$ pour tout point $P$ placé par Fabrice. On appelle $r$-\textbf{cookie du plan}, ou plus simplement $r$-cookie, un cookie que Fabrice peut réaliser avec un outil de précision $r$. Les réponses aux questions suivantes vont donc dépendre de $r$.
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En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie est un cookie.
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@ -88,21 +84,15 @@ En particulier, les $0$-cookies sont exactement les cookies, et tout $r$-cookie
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Perrine s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Pour cela on suppose qu'elle dispose de deux fonctions continues $x : \R \to \R$ et~$y : \R \to \R$ qui vérifient les propriétés suivantes :
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Fabrice s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions continues telles que :
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Fabrice s'intéresse maintenant à la forme du bord de ses $r$-cookies. Pour cela on suppose qu'elle dispose de deux fonctions continues $x : \R \to \R$ et~$y : \R \to \R$ qui vérifient les propriétés suivantes :
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\begin{itemize}
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\item elles sont 1-périodiques, c'est-à-dire que $x(t+1) = x(t)$ et $y(t+1) = y(t)$ pour tout $t$ réel,
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\item pour toutes valeurs de $t$ et $t'$, tel que on a simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$, alors la différence $t-t'$ est entière.
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\end{itemize}
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Perrine trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}. Elle cherche maintenant à savoir si la partie du plan que le contour délimite (que l'on suppose bien définie) est un~$r$-cookie.
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Fabrice trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est un $r$-cookie.
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Fabrice trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $\left(x(t),y(t)\right)$, appelé \textbf{contour}. Il cherche maintenant à savoir si la partie du plan que le contour délimite (que l'on suppose bien définie) est un~$r$-cookie.
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\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas un~$r$-cookie ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ?
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@ -1,7 +1,7 @@
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\section{Dépollution de la Seine}
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Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués.
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Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in [0,V]$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre mais occupent une partie de l'eau du bassin). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
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Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in [0,V]$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre mais occupent une partie de l'eau du bassin). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec~$T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
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\begin{itemize}
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\item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre.
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\item Au coucher du soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
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@ -1,10 +1,8 @@
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\section{Rassemblements mathématiques}
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Lors d'une olympiade de mathématiques, des jeunes mathématiciennes et mathématiciens se rencontrent. L'organisateur doit définir des \textbf{plans de placements} pour les repas, c'est-à-dire définir chaque jour qui s'assiéra où. Il souhaite que les participants se mélangent au maximum au moment des repas. Il va donc élaborer un plan de placement des participants sur plusieurs jours de sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.
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Lors d'un tournoi de mathématiques, des jeunes mathématiciennes et mathématiciens se rencontrent. Perrine doit définir des \emph{plans de placements} pour les repas, c'est-à-dire définir chaque jour qui s'assiéra où. Elle souhaite que les participants se mélangent au maximum au moment des repas donc élaborer un plan de placement des participants sur plusieurs jours de sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.
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Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade et prennent $r$ repas ensemble.
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@ -35,11 +33,9 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au t
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\caption{Exemple de plan de placement idéal pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D.}
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\end{figure}
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\q Peut-on toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? \'Etudier également le cas où~$r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
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\q Perrine peut-elle toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a $r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
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\q Perrine peut-elle toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a~$r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?
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\q Donner le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
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\begin{enumerate}
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@ -59,11 +55,8 @@ Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au t
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Pour éviter que les participants ne se lassent, l'organisateur essaie d'uniformiser le plan : il veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit~$f$\textbf{-uniforme}.
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Pour éviter que les participants ne se lassent, Perrine essaie d'uniformiser le plan : elle veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit \textbf{$f$-uniforme}.
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Pour éviter que les participants ne se lassent, Perrine essaie d'uniformiser le plan : elle veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit~\textbf{$f$-uniforme}.
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\q Décrire les valeurs de $p$ et $t$ pour lesquelles on peut trouver un plan idéal $1$-uniforme.
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@ -2,11 +2,9 @@
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Anaïs cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un symbole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.
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Lock veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, il procède de la façon suivante : il écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec~$2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
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Anaïs veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, elle procède de la façon suivante : elle écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec $2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
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Anaïs veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, elle procède de la façon suivante : elle écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec~$2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.
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Une configuration est \textbf{admissible} s'il est possible pour Anaïs d'effectuer la construction précédente, c'est-à-dire de numéroter les cartes et créer le manuel correspondant.
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@ -29,11 +27,9 @@ Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$,
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Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Lock s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration pour laquelle Lock peut construire une telle numérotation et un manuel associé est dite dite~\textbf{$M$-admissible}.
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Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Anaïs s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration est dite \textbf{$M$-admissible} si Anaïs peut construire une telle numérotation et un manuel associé.
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Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Anaïs s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration pour laquelle Anaïs peut construire une telle numérotation et un manuel associé est dite dite~\textbf{$M$-admissible}.
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\q Estimer, en fonction de $N$, le $M$ minimal pour lequel toute configuration est $M$-admissible. Donner des exemples de configurations pour lesquelles on peut calculer le $M$ minimal pour lequel elles sont $M$-admissibles. On s'intéressera aux différents modes de combinaison des cartes (somme, PGCD...).
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@ -1,49 +1,45 @@
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\section{Pièces truquées}
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Soit $n\geq 1$ un entier. Félix et Félicie jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Félicie essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Félicie fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Félicie fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$,..., $n$.
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Soit $n\geq 1$ un entier. Félix et Félicie jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Félicie essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Félicie fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Félicie fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$, ..., $n$. Les $n+1$ lancers et les $n$ prédictions constituent une \textbf{partie}.
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Soit $n\geq 1$ un entier. Félix et Clara jouent à un jeu de pile ou face. Félix possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. Le jeu se déroule de la manière suivante : Félix lance une première fois la pièce, puis Clara essaye de prédire le résultat du lancer suivant, Félix lance à nouveau la pièce, Clara fait une prédiction et ainsi de suite. Si on numérote les lancers de $0$ à $n$, Félix lance donc $n+1$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants) et Clara fait $n$ prédictions pour les lancers $1$, $2$,..., $n$. Les $n+1$ lancers et les $n$ prédictions constituent une \textbf{partie}.
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Un exemple de partie, pour $n=2$, est :
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\small \begin{itemize}[itemsep=0pt]
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\item Félix tire pile,
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\item Félicie prédit face,
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\item Clara prédit face,
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\item Félix tire face,
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\item Félicie prédit pile,
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\item Clara prédit pile,
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\item Félix tire face.
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\end{itemize} \normalsize
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Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
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\q On suppose dans cette question que Félicie gagne un point par prédiction juste. Son nombre total de points à la fin de la partie est appelé son \textbf{gain}. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
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\end{itemize} \normalsize
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Dans ce cas, Clara a fait une première prédiction juste et une deuxième prédiction fausse.
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\q On suppose dans cette question que Clara gagne un point par prédiction juste. Son nombre total de points à la fin de la partie est appelé son \emph{gain}. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est :
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\begin{enumerate}
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\item toujours pile ?
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\item le résultat du lancer précédent ?
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\item pile si le nombre de piles déjà tirés est pair, face sinon ?
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\end{enumerate}
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%\q Le gain de Félicie si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
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%\q Le gain de Clara si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si :
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%\begin{enumerate}
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% \item elle gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
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% \item elle gagne autant de points qu'elle a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ?
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%\end{enumerate}
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Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est un sous-ensemble de $[0,1]$.
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Maintenant Clara veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est un sous-ensemble de $[0,1]$.
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Une \emph{stratégie} pour Clara est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne trois exemples de stratégies. Soit $G_{\mathcal{S},p}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, avec $p$ la probabilité que la pièce tombe sur pile. On définit le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie~$\mathcal{S}$ comme $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}(G_{\mathcal{S},p})$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
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Une \textbf{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Soit $G_{\mathcal{S},p}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, avec $p$ la probabilité que la pièce tombe sur pile. On définit le \textbf{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ comme $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}(G_{\mathcal{S},p})$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
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Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne trois exemples de stratégies. Soit $G_{\mathcal{S},p}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, avec $p$ la probabilité que la pièce tombe sur pile. On définit le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ comme $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}(G_{\mathcal{S},p})$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est le plus bas.
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>>>>>>> ba5db5ad72d729d8c58b1f5b92f9270ac44a06c3
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\q Si Félicie n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$, c'est-à-dire que $\mathcal{P}=[0,1]$. Quel est le gain minimal espéré pour les stratégies a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ?
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\q Quelle(s) stratégie(s) $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ (et quel est-il) :
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\q Trouver une stratégie $\mathcal{S}$ qui donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ parmi toutes les stratégies possibles (et le calculer) si :
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>>>>>>> 1abffe98541386c1f43c1cdfa7d1d1b76918cada
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\begin{enumerate}
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\item si $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{3}]$ ?
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\item si $\mathcal{P}=[0,1]$ ?
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@ -52,24 +48,26 @@ Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédicti
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\`A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire~$n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités~$p_1$,~$p_2$ et $q$ (donc les choix de prédictions qu'elle fait peuvent dépendre de $p_1$, $p_2$ et $q$).
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\q Quelle est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Parmi toutes les stratégies possibles, en trouver une pour laquelle l'espérance du gain est la plus grande possible, et la calculer.
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\`A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire~$n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Clara connaît les probabilités~$p_1$,~$p_2$ et $q$ (donc les choix de prédictions qu'elle fait peuvent dépendre de $p_1$, $p_2$ et $q$).
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\q Quelle est l'espérance du gain de Clara pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Parmi toutes les stratégies possibles, en trouver une pour laquelle l'espérance du gain est la plus grande possible, et la calculer.
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Félicie n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Félicie peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Félicie gagne $\alpha$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
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Clara n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Clara peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Clara gagne $\alpha$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé.
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\q Quelle stratégie maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (c'est-à-dire qu'on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ?
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Désormais, Félix possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. Félicie connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$.
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Désormais, Félix possède toujours deux pièces mais change de pièce en cours de route. Avant la partie, il choisit uniformément au hasard un nombre $K$ entre $1$ et $n$ (inclus). Il tire la pièce~$1$ pour les lancers $0, ..., K-1$ et la pièce~$2$ pour les lancers $K, ..., n$. Clara connaît toujours les probabilités $p_1$, $p_2$.
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\q Félicie doit deviner quel $K$ a été choisi par Félix.
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\q Clara doit deviner quel $K$ a été choisi par Félix.
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\begin{enumerate}
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\item Elle annonce sa prédiction après les $n+1$ lancers. Quelle(s) stratégie(s) lui permet(tent) de maximiser la probabilité d'avoir raison et quelle est alors cette probabilité ?
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\item Après chaque lancer, Félicie peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. Si elle a raison, elle gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si elle fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et elle ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et elle gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle(s) stratégie(s) lui permet(tent) de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
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\item Après chaque lancer, Clara peut décider de continuer ou d'annoncer \og{} la pièce a déjà changé \fg{}, auquel cas le jeu s'arrête. Si elle a raison, elle gagne $n-(m-K)$ points, où $m$ est le numéro du lancer après lequel l'annonce a été faite ($0$ pour le premier, $N$ pour le dernier). Autrement dit, si elle fait l'annonce après le lancer $m$, soit $m<K$ et elle ne gagne pas de point, soit $m\geq K$ et elle gagne $n$ points mais perd un point par tour de retard de son annonce. Quelle(s) stratégie(s) lui permet(tent) de maximiser l'espérance de son gain et que vaut alors ce gain en moyenne ?
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\end{enumerate}
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\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.
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@ -2,7 +2,7 @@
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Soit $n \geq 2$ un entier. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent en match, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours contre la joueuse $j$. Les matchs ont lieu sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appelle \textbf{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de sorte qu'il y ait exactement $2$ joueuses à chaque table.
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Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes s'affrontent puis pour tout numéro de table $k$, la gagnante de la table $k$ monte à la table~$k-1$ (sauf si $k=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $k$ descend à la table $k+1$ (sauf si $k=n$, auquel cas elle reste à la table $n$). On dira qu'une table est plus \textbf{haute} qu'une autre si son numéro est plus petit que l'autre.
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Au départ, les joueuses sont dans une configuration initiale puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes s'affrontent puis pour tout numéro de table $k$, la gagnante de la table $k$ monte à la table~$k-1$ (sauf si $k=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $k$ descend à la table~$k+1$ (sauf si $k=n$, auquel cas elle reste à la table $n$). On dira qu'une table est plus \textbf{haute} qu'une autre si son numéro est plus petit que l'autre.
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\begin{figure}[!ht]
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\begin{center}
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@ -72,7 +72,7 @@ Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un bouton pour faire faire demi-tour à l'
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Il les dispose de sorte à former un polygone convexe, c'est-à-dire dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$. On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone.
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Un polygone convexe est dit \textbf{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du polygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, en numérotant les côtés du ploygone~$1$, ..., $M$ dans n'importe quel ordre, il est possible de placer le canon à électrons de sorte que l'électron rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ et ainsi de suite jusqu'à $M$.
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Un polygone convexe est dit \textbf{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du polygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, pour n'importe quelle numérotation des côtés du polygone avec les entiers de~$1$ à $M$, il est possible de placer le canon à électrons de sorte que l'électron rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ et ainsi de suite jusqu'à $M$.
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La figure \ref{fig:traj_tri} représente un quatrilatère (en orange) dont on a numéroté les côtés et une trajectoire possible d'un électron qui respecte cet ordre : il rebondit successivement sur les côtés $1$ puis $2$ puis $3$ puis $4$. Pour que ce polygone soit admirable, il faudrait pouvoir faire la même chose quels que soient les numéros attribués aux côtés de ces polygones.
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