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fiches/cookies-fiche.tex
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@ -1,5 +1,6 @@
\section*{Eléments de réponse}
%1
\q (facile) Le cas a) est simple, il suffit de mettre une quantité de pâte $R$ au centre du disque (segment de longueur 0). On donne une réponse positives dans chacun des autres cas au moyen de dessins :
@ -39,6 +40,7 @@ On pourrait se demander si le cas des fraphes des fonctions \textbf{continues} $
Le théorème \ref{thm : fonda} nous renseigne sur une large classe de cookies de la manière suivante : on découpe le cookie en différente pièce ayant un axe de symétrie et de telle sorte que si on choisit cet axe de symétrie comme l'axe des réel, le bord de la pièce est une fonction qui vérifie la condition du théorème fondamental. Il serait intéressant de trouver des conditions sur la régularité du contour pour satisfaire automatiquement cette condition. C'est d'ailleurs l'esprit de la question \textbf{5.}.
%2
\q (Moyen) dans le cas a) c'est bien sûr 0 comme le segment que l'on a choisi dans l'exemple suivant est de longueur nulle. Dans les autres cas il faut faire un peu plus attention. Tout d'abord le résultat suivant est clair mais nécessaire.
\begin{lemme}
@ -75,14 +77,20 @@ Soit $S_1$ et $S_2$ deux segments qui sont symétriques l'un de l'autre par rapp
La preuve est une version plus élaborée de celle du lemme précédent.
%3
\q (Moyen) Les formes (b) et (c) ne sont pas des $r$-cookies avec $r>0$ à cause des coins (Lemme \ref{lemme : coins}). La forme (a) est un $r$-cookie pour $r \in [0,R]$. Tandis que la forme $(d)$ est un $r$-cookie pour $r \in [0,R_2-R_1]$.
%4
\q (Moyen-difficile) Oui c'est possible (on avait trouvé une forme mais je ne me souviens plus exactement).
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\q (Moyen) On peut appliquer le lemme \ref{lemme : coins} et créer un cookie qui a une infinité de coins (qui ne puissent pas être recouvert par un nombre fini de segments). Par exemple un triangle de Sierpinski. Cela fournit un contre-exemple pour tout $r > 0$.
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\q (Facile) Le triangle est un exemple de 0-cookie qui n'est pas un $r$-cookie pour $r>0$.
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\q
\q On peut appliquer le lemme \ref{lemme : coins} et créer un cookie qui a une infinité de coins (qui ne puissent pas être recouvert par un nombre fini de segments). Par exemple un triangle de Sierpinski. Cela fournit un contre-exemple pour tout $r \leq 0$.
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