diff --git a/src/Pavage.png b/src/Pavage.png deleted file mode 100644 index f43eb2f..0000000 Binary files a/src/Pavage.png and /dev/null differ diff --git a/src/Symetrie.png b/src/Symetrie.png deleted file mode 100644 index 4f3ea9f..0000000 Binary files a/src/Symetrie.png and /dev/null differ diff --git a/src/Triangle 1.png b/src/Triangle 1.png deleted file mode 100644 index 7d97a95..0000000 Binary files a/src/Triangle 1.png and /dev/null differ diff --git a/src/Triangle 2.png b/src/Triangle 2.png deleted file mode 100644 index 8718f87..0000000 Binary files a/src/Triangle 2.png and /dev/null differ diff --git a/src/piece_truquee.tex b/src/piece_truquee.tex index ab22359..1d9318f 100644 --- a/src/piece_truquee.tex +++ b/src/piece_truquee.tex @@ -19,34 +19,34 @@ Dans ce cas, Félicie a fait une première prédiction juste et une deuxième pr \item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ? \end{enumerate} -\q Le gain de Félicie si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si : -\begin{enumerate} - \item elle gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? - \item elle gagne autant de points qu'elle a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? -\end{enumerate} +%\q Le gain de Félicie si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a) et b) de la question~\textbf{1.}, quelle est l'espérance de son gain si : +%\begin{enumerate} +% \item elle gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ? +% \item elle gagne autant de points qu'elle a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1 point pour la première prédiction juste, 2 pour la deuxième...) ? +%\end{enumerate} Maintenant Félicie veut maximiser ses chances d'obtenir un bon score. Elle ne connaît pas la valeur de $p$ mais elle sait que $p\in \mathcal{P}$ où $\mathcal{P}$ est une partie de $[0,1]$. -Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_\mathcal{S}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, ie. pour celle où ce gain espéré est minimal. +Une \emph{stratégie} pour Félicie est une manière de choisir quelle prédiction elle va faire avant le lancer $m$ en fonction des résultats des lancers $0,1,2,...,m-1$. La question \textbf{1.} donne donc trois exemples de stratégies. Si on appel $G_\mathcal{S}$ le gain (aléatoire) obtenu pour la stratégie $\mathcal{S}$, le \emph{gain minimal espéré} pour la stratégie $\mathcal{S}$ est $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}=\min_{p\in \mathcal{P}} \mathbb{E}_p(G_\mathcal{S})$ où $\mathbb{E}_p$ désigne l'espérance dans le cas où la pièce tombe sur pile avec probabilité $p$. Autrement dit, $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ est l'espérance du gain apporté par la stratégie $\mathcal{S}$ pour la pire des valeurs de $p\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire pour celle où ce gain espéré est minimal. -\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (ie. on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? +\q Si $\mathcal{P}=[0,1]$ (c'est-à-dire qu'on n'a aucune information a priori sur la valeur de $p$), quel est le gain minimal espéré pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question \textbf{1.} ? \q Quelle stratégie $\mathcal{S}$ donne le plus grand gain minimal espéré $\mathcal{G}_{\mathcal{S},\mathcal{P}}$ et quel est-il si : \begin{enumerate} - \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{2}]$ ? + \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{3}]$ ? \item $\mathcal{P}=[0,1]$ ? \item $\mathcal{P}=[0,\frac{1}{4}]\cup [\frac{3}{4},1]$ ? \end{enumerate} A partir de maintenant, Félix possède deux pièces, d'apparences indistinguables, qui tombent sur pile avec des probabilités respectives $p_1$ et $p_2$. Avant la partie, il choisit au hasard une des deux pièces : il prend la pièce $1$ avec probabilité $q$ (donc la pièce $2$ avec probabilité $1-q$) puis tire $n+1$ fois la pièce choisie, comme avant. On suppose que Félicie connaît les probabilités $p_1$, $p_2$ et $q$. -\q Quel est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle est la meilleure stratégie possible (ie. celle maximisant l'espérance du gain) et que vaut alors le gain en moyenne ? +\q Quelle est l'espérance du gain de Félicie pour les stratégie a), b), c) décrites dans la question~\textbf{1.} ? Quelle stratégie donne la plus grande espérance du gain et que vaut-elle ? \medskip Félicie n'essaye plus de deviner les résultats des lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie. Félix lance une première fois la pièce puis, après chaque lancer, Félicie peut choisir de déclarer quelle pièce a été choisie selon elle, auquel cas le jeu s'arrête, ou de demander un lancer supplémentaire, dans une limite de $n$ lancers demandés maximum. Félicie gagne $m$ points si sa déclaration est correcte (et aucun point si elle se trompe) et perd 1 point par lancer supplémentaire demandé. -\q Quelle est la stratégie qui maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? +\q Quelle stratégie maximise l'espérance du gain obtenu et que vaut alors ce gain en moyenne ? Que se passe-t-il quand $n\to\infty$ (ie. on ne fixe plus de limite au nombre de lancers demandés) ? \medskip diff --git a/src/triominos.tex b/src/triominos.tex index c3383b1..63c30c9 100644 --- a/src/triominos.tex +++ b/src/triominos.tex @@ -1,8 +1,6 @@ \section{Triominos} -\graphicspath{ {./images/} } - -Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté. +Soit $n\geq 1$ entier, fixé dans la suite du problème. Alexander a des pièces triangulaires, appelées triominos. Sur chaque triomino, trois nombres entre $1$ et $n$ sont inscrits, un sur chaque côté. \begin{center} \begin{figure}[h] \begin{tikzpicture} @@ -12,11 +10,11 @@ Soit $n\geq 1$ un entier, fixé dans la suite. Alice a des pièces triangulaires \draw (1.35,.766) node{$3$}; \end{tikzpicture} -\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1, 3$ et $3$} +\caption{Un exemple de triomino avec sur les côtés les valeurs $1$, $3$ et $3$} \end{figure} \end{center} -Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident. +Alexander décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, de sorte que les numéros écrits sur deux côtés adjacents coïncident toujours. \begin{center} \begin{figure}[h] @@ -36,11 +34,11 @@ Alice décide de placer les triominos les uns à côté des autres dans le plan, \draw (2.65,.766) node{$2$}; \draw (3.35,.766) node{$1$}; \end{tikzpicture} -\caption{Exemple de configuration possible} +\caption{Exemple de configuration possible.} \end{figure} \end{center} -Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino. Ainsi, les deux triominos ci-dessous sont considérés comme distincts. +Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à partir de l'autre par rotation. En revanche, on ne peut pas retourner un triomino (c'est-à-dire lui appliquer une symétrie). \begin{center} \begin{figure}[h] @@ -57,36 +55,37 @@ Deux triominos sont considérés comme identiques si on peut obtenir l'un à par \draw (4.65,.766) node{$1$}; \draw (5.35,.766) node{$3$}; \end{tikzpicture} -\caption{Les deux triominos orange sont identiques, mais le triomino bleu est différent} +\caption{Les deux triominos oranges sont identiques, mais le triomino bleu est différent.} \end{figure} \end{center} -Alice possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$. +Alexander possède un jeu complet de triominos, composé d'un unique exemplaire de chaque triomino possible en utilisant les nombres de $1$ à $n$. -\q Combien Alice possède-t-elle de triominos ? +\q Combien Alexander possède-t-il de triominos ? -Alice souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante : +\q Pour quels $n$ est-il possible de trouver une configuration utilisant toutes les pièces ? + +\medskip + +Alexander souhaite disposer ses triominos en ligne droite, de la façon suivante : + +\medskip \begin{center} -\begin{figure}[h] -\begin{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[scale=0.75] \draw (0,0)--(8,0); \draw (1,1.766)--(7,1.766); \draw (0,0)--(1,1.766)--(2,0)--(3,1.766)--(4,0)--(5,1.766)--(6,0)--(7,1.766)--(8,0); \end{tikzpicture} -\caption{Exemple de disposition s'il y a $7$ triominos} -\end{figure} \end{center} -\q a) Alice peut-elle disposer les triominos en ligne droite si $n=1$ ? $n=2$ ? $n=3$ ? +\q Pour quels $n$ Alexander peut-il disposer tous les triominos en ligne droite ? On pourra commencer par regarder les cas $n=2,3,4$. -b) Et pour $n$ quelconque ? +\q Estimer, en fonction de $n$, la taille du plus grand losange qu'Alexander peut former avec ses triominos. -Une configuration est dite \textit{connexe} si, pour tout couple de triominos, il existe un chemin dans les triominos qui va de l'un à l'autre. Un chemin est une suite de triominos adjacents, et dire que deux triominos sont adjacents signifie qu'ils ont un côté commun. +\medskip -\q Est-il toujours possible de trouver une configuration connexe utilisant toutes les pièces ? - -Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque sommet. Alice souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident. +Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur les sommets des triangles. Alexander souhaite donc que les nombres écrits sur deux sommets adjacents coïncident. \begin{center} \begin{figure}[h] @@ -112,6 +111,4 @@ Désormais, les nombres ne sont plus écrits sur les côtés mais sur chaque som \q Reprendre les questions précédentes dans ce cas. -\q Quel est le plus grand losange qu'on puisse former en assemblant les pièces ? - \q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche. \ No newline at end of file