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Dépollution : correction de certains énoncés et clarification 

Question 1 : inégalités larges plutôt que strictes
Clarification du brassage questions 4 et 5 ;
Question 6 : ajout de la condition initiale de beau temps ;
Question 7 : remplacement de la condition de non-dépollution par des conditions d'évaporation en lien avec les questions précédentes.
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Benoit 2023-12-28 17:09:42 +01:00
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@ -5,20 +5,20 @@ Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre; \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre;
\item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas. Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin; \item Au coucher du Soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas. Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin;
\item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le jour $T+1$. \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau où elle se trouve le midi du jour $T+1$.
\end{itemize} \end{itemize}
Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
\q Quelles sont les valeurs possibles de $K$ qui garantissent que si $0<v_0<V$, alors $0<v_T<V$ pour tout $T$ ? \q Quelles sont les valeurs possibles de $K$ qui garantissent que si $0\leq v_0 \leq V$, alors $0\leq v_T \leq V$ pour tout $T$ ?
\medskip \medskip
Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (autrement dit, on considère que le terme $\frac{-v^2}{V}$ est négligeable). Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (autrement dit, on considère que le terme $-\frac{v^2}{V}$ est négligeable sauf dans la dernière question).
\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ? \q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ?
\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau propre, puis dans l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre meurent donc tout de suite sans se reproduire). \q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau propre, puis dans l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre mourront donc à minuit sans se reproduire le lendemain midi).
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Étudier l'évolution de la suite $v_T$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle? \item Étudier l'évolution de la suite $v_T$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle?
\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin? \item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
@ -35,29 +35,33 @@ Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) =
\medskip \medskip
On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée peu avant minuit. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors le jour $T+1$ on aura $v_{T+1} = a(T) K v_T$ (en effet, les bactéries qui auraient dû occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v_T$ meurent à minuit). On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée au coucher du Soleil. Les bactéries filles se trouveront réparties à minuit dans les mêmes proportions que la nature de l'eau (polluée ou propre): s'il y a $a_T V$ d'eau polluée et $b_T V$ d'eau propre au coucher du Soleil, avec $a_T + b_T =1$, alors à minuit il y a $f\big( v_T \big) a_T$ volume d'eau polluée occupé par les bactéries filles et $f\big( v_T \big) b_T$ volume d'eau propre occupé par les bactéries filles qui vont donc mourir sans se reproduire le lendemain midi.
\q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K$ et $v_0$ pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin. \q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K$ et $v_0$ pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
\q L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, on fait rentrer dedans la quantité $w$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée (dans les mêmes proportions que son état). L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque soir, on fait rentrer dedans la quantité $w \in [0,V]$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée. L'eau s'évapore dans les mêmes proportion que son état l'après midi: si lorsque les bactéries ont dépollué l'eau où elles se trouvent il reste $a'_T V$ quantité d'eau polluée et $b'_T$ quantité d'eau propre, alors il s'évapore $a'_T w$ quantité d'eau polluée et $b'_T V$ quantité d'eau propre, remplacée par $w$ quantité d'eau polluée le soir avant le brassage.
On note $u_T$, avec $0 < u_T < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. En fonction de $K$ et $v_0$,
\q On note $u_T$, avec $0 \leqslant u_T \leqslant V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. Trouver autant de conditions nécessaires/suffisantes que possibles sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item La suite $(u_T)$ admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ? \item la suite $(u_T)$ admette une limite (et estimer pour chaque condition cette limite en fonction de $K$, $w$ et $v_0$);
\item Si non, pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v_0$ est-elle périodique? \item la suite $(u_T)$ soit périodique (et estimer pour chaque condition la période en fonction de $K$, $w$ et $v_0$).
\item Décrire le plus généralement possible cette suite. \item \'Etudier le plus généralement possible la suite $u_T$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\medskip \medskip
\q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v_T) = K_1 v_T$ et s'il pleut, on a $f(v_T) = K_2 v_T$ avec $K_1>K_2>0$. Il pleut exactement un jour sur deux: s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué ? \q Pour cette question, on suppose qu'il n'y a plus de brassage ni d'évaporation et que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v_T) = K_1 v_T$ et s'il pleut, on a $f(v_T) = K_2 v_T$ avec $K_1>K_2>0$. Il pleut exactement un jour sur deux: s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Le jour $T=0$, il fait beau.
Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué ?
%\begin{enumerate} %\begin{enumerate}
%\item Dans un premier temps, %\item Dans un premier temps,
%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? %\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ?
%\end{enumerate} %\end{enumerate}
\q On retourne au cas exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. L'eau propre redevient polluée chaque jour. Décrire le comportement de la suite $v_T$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$. \q On retourne au cas exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.
%L'eau propre redevient polluée chaque jour.
Décrire le comportement de la suite $v_T$ selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$, d'abord dans les cas extrêmes où $w=V$ (toute l'eau s'évapore), puis $w=0$ (l'eau ne s'évapore pas), puis le cas général.
%\begin{enumerate} %\begin{enumerate}
%\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ? %\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?