\section*{\'Eléments de réponse} 

\q a) (Facile) Oui Nicolas peut emmener l'électron n'importe où. Puisque la distance maximale entre deux demi-tours est $2$, le nombre minimal de demi-tours pour aller de $A$ à $B$ est $\lceil\frac{AB}{2}\rceil -1$.

b) (Moyen) On suppose $A=(0,0)$, $B=(\ell,0)$ où $\ell>0$. On pose $P(t)$ la position de l'électron au temps $t$. On remarque que trouver le plus court chemin allant de $A$ à $B$ revient à trouver le plus court chemin allant d'un point d'abscisse $0$ à un point d'abscisse $\ell$. En effet, si on considère un tel chemin de longueur $T$, si $P(0) = (0,0)$ et $P(T) = (\ell,h)$ alors si $h\neq 0$ on a $T'< T$ tel que $P(0)P(T') = \ell < P(0)P(T)$ donc en tournant globalement le chemin, va de $(0,0)$ à $(0,\ell)$ en un temps $T'<T$.

On peut donc se contenter de regarder les abscisses $x(t)$ de $P(t)=(x(t),y(t))$. Si on observe le vecteur vitesse $v(t)$ du point, il s'agit d'un vecteur unitaire qui tourne à vitesse angulaire constante et qui fait demi-tour quand on appuie sur le bouton. Si $v(t)\cdot \overrightarrow{AB} < 0$ pour $t\in [t_1,t_2]$, en rajoutant un demi-tour en $t_1$ et en $t_2$, on obtient une nouvelle trajectoire $P'(t)=(x'(t),y'(t))$ telle que $v'(t_2) = v(t_2)$ et $x'(t_2)>x(t_2)$ donc $x'$ atteint $\ell$ en un temps strictement plus court que $x$ donc si $P$ est le plus court chemin alors $v(t)\cdot \overrightarrow{AB} \geq 0 \;\forall t$. Les demi-tours ont donc lieu exactement quand $v(t)$ pointe vers le haut.

$x(t)$ augmente de $2$ quand $v$ fait un cycle complet (c'est-à-dire parcourt un demi-cercle) donc il reste à regarder ce qu'il se passe pour $\ell < 2$. On peut le faire avec $0$ ou $1$ demi-tour mais on constate que le trajet sans demi-tour est plus court.

Finalement, si $AB=\ell=2n+r$ où $n$ entier et $r\in [0,2[$, le chemin le plus court a pour longueur $n\pi + 2\text{Arcsin}(\frac{r}{2})$.

\q (Ouvert mais éléments de réponses possibles à trouver) Pour $r>0$, on pose $N(r)\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}$ le nombre minimal de demi-tours à faire pour rester éternellement dans un cercle de rayon $r$. Il s'agit alors d'étudier $r\mapsto N(r)$. On ne peut pas décrire exactement la fonction $N$ mais on peut en donner plusieurs propriétés.

(facile) $N$ est décroissante : si une trajectoire fonctionne pour un cercle, elle fonctionne pour un cercle plus grand.

(moyen) $N(r)\geq 1$ et $N(r)=1\iff r>\frac{4}{3}$ : Avec un dessin et un peu de géométrie du plan, on voit que le rayon minimal permettant de s'en sortir en $1$ demi-tour correspond au minimum de la fonction $\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)-\frac{1}{2}}$ pour $\theta\in]\pi/6,5\pi/6[$ qui est $\frac{4}{3}$.

(difficile) $N(r) < \infty \iff r>1$ : Le sens direct est évident mais le sens réciproque l'est moins. L'idée est regarder les centres des arcs décrits par l'électron et de faire en sorte que le premier soit hors du cercle interdit (c'est obligé), le deuxième dedans, le troisième dehors, le quatrième dedans... et que ceux qui sont dedans se rapprochent progressivement du centre du cercle interdit. A partir d'un certain rang, il sera suffisamment proche pour que le cercle entier décrit par l'électron soit inclus à l'intérieur du cercle interdit.

(moyen) $N$ est continue à gauche : pour tout $r>0$, il existe $\varepsilon >0$ tel que $N(r')=N(r)$ pour tout $r' \in ]r-\varepsilon,r]$. En effet, en prenant une trajectoire avec $N(r)$ demi-tours, on peut toujours réduire un peu le cercle interdit de sorte qu'il ait un rayon $r'<r$ et que la trajectoire se trouve toujours à l'intérieur. On a alors $N(r')\leq N(r)$ (car le cercle de rayon $r'$ contient une trajectoire avec $N(r)$ demi-tours) et $N(r')\geq N(r)$ (par décroissance, car $r'<r$) donc $N(r')=N(r)$.

(difficile) $N(r)\to +\infty$ quand $r\to +\infty$ : Si ce n'est pas le cas, on a $N_0$ et $M$ tels que pour tout $k\geq M$, $N(1+1/k)=N_0$. Pour tout $k\geq M$, on regarde $T_k$ une trajectoire partant de $(0,0)$ et restant à l'intérieur du cercle de centre $(1+1/k,0)$ et de rayon $1+1/k$. $T_k$ est composée $M+1$ arcs de cercles de centres $C_k=(C_{k,0},...,C_{k,M})$ et de $M$ points de demi-tours $P_k=(P_{k,0},...,P_{k,M-1})$. Par compacité, quitte à extraire une sous-suite, $C_k \to C^\ast = (C_0^\ast,...,C_M^\ast)$ et $P_k \to P = (P_0^\ast,...,P_{M-1}^\ast)$. On a alors une trajectoire qui a les centres de ses arcs en $C_0^\ast,...,C_M^\ast$ et fait demi-tour aux points $P_0^\ast,...,P_{M-1}^\ast$. De plus, cette trajectoire limite est incluse dans le disque fermé $\mathcal{D}$ de centre $(1,1)$ et de rayon $1$ et vérifie $C_M^\ast=(1,0)$ ce qui est absurde car $P_{M-1}^\ast$ est alors à la fois dans $\mathcal{D}$ et hors de $\mathcal{D}$.

\q (Moyen pour $R=1$, Ouvert pour $R$ général) Le meilleur $N$ est $N=n-1$.

On peut y arriver en $n-1$ demi-tours : on commence par tirer l'électron sur un cercle de rayon $1$ qui contient deux points puis on fait demi-tour de sorte que chaque nouvel arc de cercle contienne un nouveau point. C'est possible car si $P$ et $Q$ sont dans un cercle de rayon $1$ et $\mathcal{C}$ est un cercle de rayon $1$ passant par $P$, il existe un cercle de rayon $1$ passant par $Q$ et tangent à $\mathcal{C}$.

On ne peut pas faire mieux en plaçant les points de la manière suivante : on place les points un par un dans le cercle de rayon $1$ de sorte que si on a déjà placé $P_1,...,P_{k-1}$, on place $P_k$ de sorte qu'on ne puisse pas trouver $\{i_0,...,i_l\}\subset \{1,...,k\}$ et des cercles $\mathcal{C}_1,...,\mathcal{C}_{l-1}$ de rayon $1$ tels que $P_{i_0}\in \mathcal{C}_1$, $P_{i_l}\in\mathcal{C}_{l-1}$ et pour tout $j$, $P_{i_j}\in \mathcal{C}_j$ et $\mathcal{C}_j$ est tangent à $\mathcal{C}_{j+1}$. C'est possible car l'ensemble des positions possibles pour $P_k$ est un disque privé d'un nombre fini de cercles (donc est non vide). En procédant de la sorte, si une trajectoire formée de $N$ arcs passe par tous les points, en notant $n_i$ le nombre de points sur le $i$-ième arc, on a $n_i\in\{0,1,2\}$ et en regardant la suite $n_i$, on n'a jamais de séquence $2,1,1,...,1,2$ (par construction des points). Par conséquent, $n_1+...+n_i\leq i+1$ pour tout $i$. En particulier $n=n_1+...+n_N\leq N+1$ donc $N\geq n-1$.

Cas général d'un disque de rayon $R$ entièrement ouvert.

\q (Moyen) Oui, c'est toujours possible. On s'appuie sur le constat suivant : si on fixe un cercle, on peut toujours faire en sorte qu'un électron quelconque finisse par parcourir ce cercle. De plus, on sait exactement où il se trouvera sur le cercle à un instant donné car on connaît son vecteur vitesse (au signe près, cela dépend du nombre de demi-tours effectués). Si on regarde les orientations initiales des canons à électrons et qu'on fixe $k$ cercle $\mathcal{C}_1,...,\mathcal{C}_k$ de centres $C_1,...,C_k$ passant par un point $P$ de sorte que $\overrightarrow{PC_k}$ ait la même orientation que le canon $k$, en faisant rejoindre à l'électron $k$ le cercle $\mathcal{C}_k$ avec un nombre pair de demi-tour pour tout $k$, les électrons se retrouveront tous au point $P$ à un moment.

\q (Ouvert) Le polygone est admirable pour $M=3$ ou $M=4$. Problème ouvert pour le reste.

\q (Ouvert)