\section{Brioches gonflées}

\'Eric a décidé de faire des brioches aux formes mathématiques pour les goûters du \tfjm.
Il dispose d'un outil qui lui permet de déposer comme il le souhaite de la pâte à brioche dans le plan suivant un nombre \textbf{fini} de segments de ligne droite (le point étant accepté comme exemple de segment de longueur $0$).
En chaque point $P$ de l'un de ces segments, l'outil permet à \'Eric de déposer de la pâte en quantité $R(P)$ plus ou moins importante.

Lorsqu'elle est au four, la pâte gonfle et remplit le disque de rayon $R(P)$ centré en $P$ pour chaque point $P$ où \'Eric met de la pâte.
La pâte d'\'Eric ne se repousse pas elle même:
par exemple, si le disque de centre $P$ et de rayon $R(P)$ est contenu dans le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$, alors la pâte gonflera en une brioche de forme le disque de centre $P'$ et de rayon $R(P')$ uniquement.
La forme de la brioche après cuisson sera donc la réunion des disques de centre $P$ et de rayon $R(P)$.

On appelle \textbf{brioche du plan}, ou plus simplement brioche, un ensemble de points du plan telle que la pâte d'\'Eric peut gonfler pour devenir cet ensemble en suivant ce procédé.


\textcolor{red}{Brioche, ou cookie, ou autre ?}


\begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,2) -- (2,-2) -- (0,-2) -- cycle;
        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (2);
        
	\draw (0,0) -- (2,0);
    \end{tikzpicture}
    \caption{La pâte est un simple segment de longueur 1, et le rayon $R(P)$ est partout égal à 1.}
    \label{fig:pate_basique}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \fill[color=orangeAnimath] (0,2) -- (2,1) -- (2,-1) -- (0,-2) -- cycle;
        \fill[color=orangeAnimath] (0,0) circle (2);
        \fill[color=orangeAnimath] (2,0) circle (1);
        
	\draw (0,0) -- (2,0);

        \fill[color=orangeAnimath] (5,0) circle (1.5);
	\draw (4.8,-0.2) -- (5.2,0.2);
	\draw (5.2,-0.2) -- (4.8,0.2);
    \end{tikzpicture}
    \caption{La pâte est constituée d'un point et un segment, et le rayon varie en fonction du point.}
    \label{fig:pate_complexe}
\end{figure}

\'Eric aimerait notamment fabriquer les formes de brioches suivantes:
\begin{enumerate}
    \item un disque de rayon $R$;
    \item un rectangle plein de côtés de longueurs $a$ et $b$;
    \item un triangle plein de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$;
    \item un anneau de rayon intérieur $\rho$ et de rayon extérieur $R$ (avec $R>\rho$).
\end{enumerate}

\textcolor{red}{faire des figures pour les brioches.}

\q La forme a) est-elle une brioche ? Même question pour chacune des formes b), c) et d).

\medskip

La \textbf{quantité de pâte} utilisée pour faire une brioche est la somme des longueurs des segments où \'Eric place de la pâte.

\q Pour chacune des formes de la question précédente qui sont des brioches, pour quelles quantités de pâte \'Eric peut-il la réaliser ?

\medskip

La précision de l'outil d'\'Eric étant limitée, la quantité de pâte qu'il dépose en $P$ ne peut pas être trop petite. On dit que l'outil d'\'Eric est de précision $r \geqslant 0$ lorsque $R(P) \geqslant r$ pour tout point $P$ placé par \'Eric. 
On appelle $r$-\textbf{brioche du plan}, ou plus simplement $r$-brioche, une brioche qu'\'Eric peut réaliser avec un outil de précision $r$.

En particulier, les $0$-brioches sont exactement les brioches, et toute $r$-brioche est une brioche.

\q Reprendre les questions précédentes dans le cas des $r$-brioches, en fonction de $r$.

\medskip

Dans les questions suivantes, $r$ est un réel positif ou nul, en fonction duquel répondre.

\q On suppose dans cette question qu'\'Eric réalise une $r$-brioche telle qu'il dispose d'une manière de placer le moins de pâte possible pour réaliser cette forme, et que cette dernière n'utilise aucun segment de longueur 0. Existe-t-il une forme de brioche pour laquelle \'Eric aurait plusieurs choix pour placer la pâte de manière optimale (c'est-à-dire en utilisant le moins possible de pâte), sans segment de longueur 0 ?

\medskip

\'Eric s'intéresse maintenant surtout à la forme du bord de ses $r$-brioches.

Soit $x : [0,1] \to \R$ et $y : [0,1] \to \R$ deux fonctions, telle que :
\begin{itemize}
    \item $x(0) = x(1)$ et $y(0) = y(1)$,
    \item pour toute autres valeurs de $t$ et $t'$, on n'a jamais simultanément $x(t) = x(t')$ et $y(t) = y(t')$.
\end{itemize}

\'Eric trace dans le plan l'ensemble $\Gamma$ des points de coordonnées $(x(t),y(t))$, appelé \textbf{contour}, et cherche à savoir si la partie du plan que cela délimite (que l'on suppose bien définie) est une $r$-brioche.

\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, mais pour lequel la partie délimitée n'est pas une $r$-brioche ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 

\q Existe-t-il un contour pour lequel $x$ et $y$ sont continues, qui soit une brioche, mais qui ne soit une $r$-brioche pour aucun $r>0$ ? Si oui, est-ce possible avec $x$ et $y$ dérivables ? Deux fois dérivables ? Trois fois dérivables ? 

\q Donner d'autres conditions sur une forme pour que ce soit une $r$-brioche.

\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche, notamment en dimension $3$.