\section{Pièces truquées}

A et B jouent à un jeu de pile ou face. A possède une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p\in[0,1]$. A lance $N$ fois la pièce (on suppose les lancers indépendants). Avant chaque lancer, B essaye de prédire le résultat.

\q B gagne un point par bonne réponse. Quelle est l'espérance de son gain si sa prédiction est
\begin{enumerate}
	\item Toujours face ?
	\item Le résultat du lancer précédent (B fait un premier lancer préliminaire)
	\item pile si le nombre de pile déjà tirés est pair, face sinon ?
\end{enumerate}

\q Le gain de B si sa prédiction est juste est désormais variable. Dans les cas a et b de la question 1, quel est l'espérance de son gain si
\begin{enumerate}
	\item Il gagne $m$ points pour une prédiction juste au lancer $m$ ?
	\item Il gagne autant de points qu'il a fait de prédiction juste jusqu'à présent (1point pour la première, deux pour la deuxième...) ?
\end{enumerate}

\q Si le joueur B connaît p, quelle est la meilleure stratégie, en fonction de p ? Existe-t-il une stratégie indépendante de p qui soit meilleure que toutes les autres quel que soit p ?

A partir de maintenant, le joueur A possède deux pièce qui tombent sur pile avec proba p1 et p2 respectivement.

\q Le joueur A choisit la pièce 1 avec proba $r$ ou la pièce 2 avec proba $1-r$ avant la partie. Le joueur B connaît $p_1$, $p_2$, r mais pas la pièce choisie.
\begin{enumerate}
	\item Combien gagne-t-il en moyenne pour les stratégies de la question 1 ?
	\item Quelle est la meilleure stratégie dans ce cadre ? (Celle qui maximise le gain moyen.)
\end{enumerate}

\q Maintenant, le joueur B n'essaye plus de deviner les lancers mais plutôt quelle pièce a été choisie.
\begin{enumerate}
	\item Le joueur A annonce ce qu'il pense être la pièce choisie à la fin des N lancers et gagne 1 point si sa supposition est bonne. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ?
	\item Le joueur A annonce la pièce choisie en cours de route et gagne N-k points s'il fait la bonne prédiction après le k-ieme tirage. Quelle est la meilleure stratégie ? Combien gagne-t-il alors en moyenne ?
\end{enumerate}

\q Maintenant A commence par tirer la pièce 1 puis, à partir du K-ième lancer, tire la pièce 2, où K est choisi uniformément au hasard. B essaye de deviner K et gagne N - |K-K'| points, où K' est sa prédiction.
\begin{enumerate}
	\item Il annonce sa prédiction à la fin des N lancers. Quelle est la meilleure stratégie ? Quelle est alors son gain moyen ?
	\item Il fait sa prédiction après le lancer K'. Quel est la meilleure stratégie ? Quel est son gain moyen ?
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
	\item Si $P=[0,1]$, quel est le gain moyen minimal des stratégie a,b,c de la question 1 ?
	\item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/2]$ ? Quel est-il ?
	\item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1]$ ? Quel est-il ?
	\item Quelle(s) stratégie(s) donne le plus grand gain moyen minimal si $P=[0,1/4]\cup [3/4,1]$ ? Quel est-il ?
\end{enumerate}

\q A possède maintenant deux pièces qui tombent sur pile avec probabilités respectives $p_1$ et $p_2$.