\section{Création de jeu}

U. N. Lock cherche à créer un jeu de société, en numérotant les cartes avec certaines contraintes.

Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 3$ cartes.
La mécanique centrale du jeu sera que les joueurs chercheront à associer 2 cartes, et vérifieront dans le manuel si la paire est correcte ou non.
On appelle "configuration" l'ensemble des paires qui doivent être validées par le manuel.

Plutôt que de lister, dans le manuel, l'intégralité des paires valides, Lock a l'idée suivante : il va attribuer à chaque carte un numéro différent entre 1 et $N$, et noter dans le manuel une réponse "oui" ou "non" pour chaque nombre entier.
Pour savoir si une paire est valide, les joueurs devront simplement additionner les numéros de ses deux cartes, et se référer à la réponse du manuel pour le numéro correspondant.

Une configuration est dite "admissible" s'il est possible pour Lock d'effectuer la construction précédente.

Exemple : $N=5$, et seulement deux paires sont correctes : $(A,B)$ et $(A,C)$.
Cette configuration est admissible, car Lock peut effectuer la construction en attribuant le numéro 1 à $A$, 2 à $B$, 3 à $C$ et 4 et 5 aux deux cartes restantes, et en écrivant "oui" aux pages 3 et 4 du manuel et "non" partout ailleurs.

\q En fonction de $N$, toutes les configurations sont-elles admissibles ?

\q En fonction de $N$, toutes les configurations sont-elles admissibles parmi :
\begin{itemize}
\item[a)] celles où toute carte appartient à au moins une paire ?
\item[b)] celles où toute carte appartient à au plus une paire ?
\item[c)] celles où toute carte appartient à au plus deux paires ?
\end{itemize}

\q Reprendre les questions précédentes si, au lieu de combiner les cartes par leur somme, elles sont combinées par leur PGCD.

\q Reprendre les questions précédentes si, au lieu de combiner les cartes par leur somme, elles sont combinées par leur PPCM.

\q Reprendre les questions précédentes si, au lieu de combiner les cartes par leur somme, elles sont combinées par leur produit.

\q Parce qu'il a vraiment envie de pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Lock s'autorise à numéroter les cartes non pas de 1 à $N$, mais par n'importe quels nombres (toujours sans répétition) compris entre 1 et $M$, pour un certain $M \ge N$. Une configuration est dite $M$-admissible si elle l'est avec ce relâchement de la contrainte.

Pour les questions précédentes où toutes les configurations n'étaient pas admissibles, trouver (ou encadrer aussi précisément que possible) le $M$ minimal tel qu'elles soient toutes $M$-admissibles.
