\section{Électron libre}

Nicolas joue dans un laboratoire de physique. Il dispose d'un canon à électrons immergé dans un champ magnétique constant uniforme. Les lois de la physique classique nous apprennent que l'électron se déplace alors à vitesse constante en décrivant un cercle dans le sens trigonométrique, que l'on supposera de rayon 1.

Nicolas dispose également d'un bouton qui permet de faire faire demi-tour à l'électron : au moment où il appuie, la vitesse de l'électron reste la même mais dans la direction opposée. Il essaye ainsi, à l'aide de cette seule commande, de guider l'électron.

La figure \ref{fig:traj_elec} représente une trajectoire possible de l'électron. Le rectangle bleu est le canon à électrons, la flèche bleue est la direction initiale, les points orange sont les demi-tours provoqués par Nicolas. Les pointillés montrent le prolongement de deux arcs de cercle décrits par l'électron.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\draw[->,bleuAnimath,line width=2.5pt] (0,0) -- ++(1,0);
		\draw[very thick] (0,0) arc (-90:0:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$}
			node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-180:45:1) node[pos=0.4,sloped]{$\blacktriangleright$}
			node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-135:-90:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$}
			node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (90:180:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$}
			node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (0:120:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$}
			node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-60:60:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleright$} node(fin){};
		\draw[thick,gray,dashed] (fin) arc (60:300:1) arc (120:360:1);
		\draw[black,fill=bleuAnimath] (0,-0.2) rectangle ++(-0.7,0.4);
	\end{tikzpicture}
	\caption{Un exemple de trajectoire de l'électron}
	\label{fig:traj_elec}
\end{figure}

\q Le canon à électrons est situé en un point $A$ du plan. Nicolas peut choisir sa direction initiale. Il veut amener l'électron tiré jusqu'en un  autre point $B$.
\begin{enumerate}
\item Nicolas peut-il toujours guider l'électron du point $A$ au point $B$ ? Si oui, combien de fois au minimum doit-il appuyer sur le bouton, en fonction de la distance qui sépare $A$ et $B$ ?
\item Quelle est la distance minimale parcourue par l'électron pour aller de $A$ à $B$ ?
\end{enumerate}

Nicolas dessine un cercle de rayon $r>0$ et place le canon à électrons sur le bord du cercle, pointé vers son centre. Il veut faire en sorte que l'électron ne touche jamais le cercle (sauf à l'instant initial).

La figure \ref{fig:traj_cerc} représente un exemple de trajectoire dans un cercle de rayon $r=2$. Il ne touche jamais le cercle gris et, après deux demi-tours, tourne sur lui-même indéfiniment.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\draw[thick, gray] (0,0) circle(2);
		\draw[->,bleuAnimath,line width=2.5pt] (-2,0) -- ++(1,0);
		\draw[very thick] (-2,0) arc (-90:20:1) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$}
			node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-160:-65:1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleright$}
			node[orangeAnimath]{$\bullet$} arc (-245:115:1) node[pos=0.25,sloped]{$\blacktriangleright$} node[pos=0.75,sloped]{$\blacktriangleleft$};
		\draw[black,fill=bleuAnimath] (-2,-0.2) rectangle ++(-0.7,0.4);
		\draw[gray,dashed] (0,0) -- ++(-145:2) node[pos=0.5,sloped,above]{$r$};
	\end{tikzpicture}
	\caption{Un exemple de trajectoire de l'électron dans un cercle de rayon $r=2$}
	\label{fig:traj_cerc}
\end{figure}

\q Pour quelles valeurs du rayon $r$ du cercle Nicolas peut-il appuyer un nombre fini de fois sur le bouton et s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle ? Dans ce cas, combien de fois au minimum Nicolas doit-il appuyer sur le bouton pour s'assurer que l'électron ne touche jamais le cercle, en fonction de $r$.

\q Nicolas place $n$ points strictement à l'intérieur d'un disque de rayon $1$. Il peut choisir librement l'emplacement et la direction du canon. L'électron peut rentrer et sortir du disque, celui-ci n'a aucune influence sur sa trajectoire. Estimez le plus petit entier $N$ tel que quelle que soit la position des $n$ points, Nicolas peut s'assurer que l'électron passe par ces $n$ points en appuyant au plus $N$ fois sur le bouton. Que se passe-t-il avec un disque de rayon $R>0$ quelconque ?

\q Nicolas dispose, dans cette question seulement, de $k$ canons à électrons disposés de manière quelconque sur le plan, et de $k$ boutons permettant de contrôler chaque électron indépendamment. Peut-il toujours faire en sorte que, après un certain temps, les $k$ électrons se trouvent au même endroit au même moment ?

\medskip

Maintenant, Nicolas ne dispose plus d'un bouton pour faire faire demi-tour à l'électron mais de miroirs sur lesquels l'électron rebondit, conformément aux lois de la physique classique : les angles d'incidence et de réflexion sont les mêmes.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
		\fill[bleuAnimath] (0,0) -- ++(120:0.3) arc (120:180:0.3) -- cycle;
		\fill[bleuAnimath] (0,0) -- ++(60:0.3) arc (60:0:0.3) -- cycle;
		\draw (-1.5,0) -- (1.5,0) node[midway,below]{\footnotesize Miroir};
		\draw[thick] (0,0) arc (30:120:1) node[midway,sloped]{$\blacktriangleleft$};
		\draw[dashed] (0,0) -- ++(120:1);
		\draw[thick] (0,0) arc (150:60:1) node[midway,sloped]{$\blacktriangleleft$};
		\draw[dashed] (0,0) -- ++(60:1);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Il les dispose de sorte à former un polygone convexe (c'est-à-dire dont tous les angles intérieurs sont de mesure strictement comprise entre $0$ et $\pi$). On suppose que l'électron est tiré de sorte qu'il ne passe jamais par un des sommets du polygone.

Un polygone convexe est dit \emph{admirable} si Nicolas peut faire rebondir l'électron sur les côtés du polygone dans n'importe quel ordre. Autrement dit, en numérotant les côtés du ploygone $1$, ..., $M$ dans n'importe quel ordre, il est possible de placer le canon à électrons de sorte que l'électron rebondisse sur le côté $1$ puis $2$ puis... puis $M$.

La figure \ref{fig:traj_tri} représente un quatrilatère (en orange) dont on a numéroté les côtés et une trajectoire possible d'un électron qui respecte cet ordre : il rebondit successivement sur les côtés $1$ puis $2$ puis $3$ puis $4$. Pour que ce polygone soit admirable, il faudrait pouvoir faire la même chose quels que soient les numéros attribués aux côtés de ces polygones.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\draw[->,bleuAnimath,line width=2.5pt] (0,0) -- ++(0,1);
		\draw[black,fill=bleuAnimath] (-0.2,0) rectangle ++(0.4,-0.7);
		\draw[very thick,line join=round] (0,0) arc (0:75:2) coordinate (p1) node[pos=0.5,sloped]{$\blacktriangleleft$}
			arc (135:255:2) coordinate (p2) node[pos=0.3,sloped]{$\blacktriangleleft$}
			arc (-75:-45:2) coordinate (p3) node[pos=0.6,sloped]{$\blacktriangleright$}
			arc (45:135:2) coordinate (p4) node[pos=0.45,sloped]{$\blacktriangleleft$}
			arc (-75:0:2) node[pos=0.7,sloped]{$\blacktriangleright$};
		\draw[very thick,orangeAnimath] (intersection cs: first line={(p3) -- ($(p3)+(90:4)$)}, second line={(p1) -- ($(p1)+(15:3)$)})
			-- (intersection cs: first line={(p1) -- ($(p1)+(195:3)$)}, second line={(p4) -- ($(p4)+(120:3)$)}) node[midway,above left,black]{\large $1$}
			-- (intersection cs: first line={(p4) -- ($(p4)+(-60:1)$)}, second line={(p2) -- ($(p2)+(180:2)$)}) node[midway,below left,black]{\large $4$}
			-- (intersection cs: first line={(p2) -- ($(p2)+(0:2)$)}, second line={(p3) -- ($(p3)+(-90:1)$)}) node[midway,below,black]{\large $2$}
			-- cycle node[midway,right,black]{\large $3$};
	\end{tikzpicture}
	\caption{Un exemple de numérotation des côtés d'un quadrilatère et une trajectoire possible pour l'électron respectant cet ordre.}
	\label{fig:traj_tri}
\end{figure}

\q Pour quels $M$ le polygone régulier à $M$ côtés dont les sommets sont sur un cercle de rayon $1$ est-il admirable ?

\q Pour quels $M\geq 3$ Nicolas peut-il construire un polygone admirable à $M$ côtés ?

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.