\section*{Eléments de réponse} 

\q a) (très facile) Le gain moyen est $np$.

b) (facile) Le gain moyen est $n(p^2+(1-p)^2)=n(2p^2-2p+1)$.

c) (moyen) Pour le lancer $k$, la probabilité que la prédiction soit la bonne est $\frac{1}{2}(1-(1-2p)^{k+1})$ donc en sommant pour $k=1, ..., n$, l'espérance du gain est $\frac{1}{2}(n-(1-2p)^2\frac{1-(1-2p)^n}{2p})$.

\q (facile) Il s'agit de calculer le minimum pour $p\in [0,1]$ des trois fonctions précédentes.

Cas a) : $0$, atteint en $p=0$.

Cas b) : $\frac{n}{2}$, atteint en $p=\frac{1}{2}$.

Cas c) : $\frac{n}{2}$, atteint en $p=\frac{1}{2}$.

\q (Idée facile mais démonstration propre difficile)

a) La meilleure stratégie consiste à toujours prédire face. Le gain minimal espéré est alors $\frac{2}{3}n$.

b) Si $p=\frac{1}{2}$, quelle que soit la stratégie choisie, le gain moyen sera toujours $\frac{1}{2}n$ donc le gain minimal espéré est $\frac{1}{2}n$.

c) On peut montrer que la meilleure stratégie est la suivante : avant le lancer $k$, on regarde les résultats $0,...,k-1$ et on prédit le résultat majoritaire. En cas d'égalité, on prédit le résultat du lancer $0$. On peut montrer (mais ce n'est pas facile à faire proprement) qu'aucune stratégie ne peut donner un gain moyen strictement meilleur, et ce quelle que soit la valeur de $p$. Le gain minimal espéré est le gain moyen pour cette stratégie quand $p=\frac{3}{4}$ ou $p=\frac{1}{4}$ mais il est difficile à calculer (pas de formule close).

\q Pour les cas de la question \textbf{1.}, l'espérance du gain est à chaque fois $q\times (\text{espérance avec } p_1) + (1-q)\times (\text{espérance avec } p_2)$.

De manière générale, si Clara connaît $q,p_1,p_2$, le meilleur choix à faire est de prédire le résultat le plus probable sachant ce qui a déjà été tiré. Concrètement, si $X_i$ désigne le résultat du lancer $i$ ($1=\text{pile}$, $0=\text{face}$), si les lancers $0$ à $k-1$ ont déjà eu lieu et ont pour valeur $x_0,...,x_{k-1}$, Clara calcule $\mathbb{P}(X_k=1|X_0=x_0,X_1=x_1,...,X_{k-1}=x_{k-1})$ et $\mathbb{P}(X_k=0|X_0=x_0,X_1=x_1,...,X_{k-1}=x_{k-1})$ et fait le choix correspondant à la plus grande des deux valeurs.

\q