\section{Dépollution de la Seine}

Pour préparer les Jeux Olympiques de 2024, les organisateurs ont besoin de dépolluer des bassins alimentés par la Seine. Une équipe de biologistes a découvert une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Pour éviter tout risque pour les baigneurs, ces bactéries ne survivent et ne se multiplient que dans l'eau polluée. Les bactéries dans l'eau propre meurent instantanément. Les bactéries dans l'eau polluée meurent au bout de $D$ jours (où $D$ est un entier strictement positif). Les bactéries dans l'eau polluée dépolluent l'eau en exactement $E$ jours (où $E$ est un entier strictement positif). Chaque jour, les bactéries dans l'eau polluée se multiplient. Si les bactéries occupaient un volume $v(T)$ d'eau le jour $T$, alors le jour $T+1$, de nouvelles bactéries naissent et occupent un volume d'eau égal à $v(T+1) = K v(T)$ (où $K$ est un réel strictement positif). Si $K v(T) > V$, on a alors $v(T+1) = V$ et le bassin est dit entièrement dépollué. On ne sait pas si l'eau que les nouvelles bactéries occuperont était déjà dépolluée, occupée par des bactéries ou non.

Au départ, un bassin de $V \, m^3$ d'eau ne contient que de l'eau polluée et on y place des bactéries dans un volume $v(0) < V$ d'eau.

On suppose pour l'instant $D=E=1$.

\q En fonction de $K$ et $v(0)$, est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin? Si oui, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ?


On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée chaque jour. Le volume $v(T+1)=K v(T)$ que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportion que son état le jour $T$ (s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors il y aura $a(T) K v(T)$ bactérie qui s'installeront dans l'eau polluée, le reste de l'eau étant devenu saine, les autres bactéries qui devraient occuper le reste du volume $(b(T)+c(T)) K v(T)$ mourront instantanément).


\q En fonction de $K$ et $v(0)$, est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin? Si oui, combien de jours faut-il pour le dépolluer entièrement? Si non, quelle proportion du bassin restera polluée?


\q L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, on fait rentrer dedans la quantité $w$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée (dans les mêmes proportions que son état).
On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. En fonction de $K$ et $v(0)$,
\begin{enumerate}
\item la suite $U(T)$ admet-elle une limite ?
\item Si oui, laquelle ?
\item Si non, pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v(0)$ est-elle périodique?
\item Décrire le plus généralement possible cette suite.
\end{enumerate}

(4) Reprendre les questions précédentes si $D$ et $E$ sont des entiers quelconques.
