\section{Matheux sociables}

Lors d'une olympiade mathématique, des jeunes mathématiciens et mathématiciennes se rencontrent.
L'organisateur souhaite que les participants s'échangent au maximum. Un bon moment pour socialiser est le repas commun. 
\emph{L'objectif est d'élaborer un planning de placement des participants tel que chacun ait mangé au moins une fois avec chaque 
autre participant à la même table.}

Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p$ places avec $p>1$. 
Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade. On note par $r$ le nombre de repas. 
Pour un réel $x$, on note par $[x]$ le plus petit entier plus grand que $x$.

\textcolor{red}{On pourrait décrire l'exemple $t=2, p=2$.}

\q 
\begin{enumerate} 
    \item Montrer que l'inégalité $r \geq [(n-1)/(p-1)]$ est une condition nécessaire pour atteindre l'objectif.
    \item Existe-t-il des valeurs pour $t$ et $p$ tel qu'il faut strictement plus de $[(n-1)/(p-1)]$ repas pour atteindre l'objectif ?
\end{enumerate}

\q Donner un planning optimal pour les cas suivants :
\begin{enumerate}
    \item $p=2$ et $t=3$.
    \item $t=p=3$.
    \item $t=3$ et $p=6$.
\end{enumerate}

À partir de maintenant, on suppose $p>2$.

\q Pour $t=2$, trouver le $r$ optimal et donner un planning optimal.

\q
\begin{enumerate} 
    \item Proposer un planning si $p=t$. On pourra commencer pas s'intéresser au cas où $p$ est un nombre premier 
    ou une puissance de nombre premier.
    \item De même si $t$ est une puissance de $p$.
\end{enumerate}

\q Étudier des plannings dans le cas général.

L'organisateur essaie d'uniformiser la configuration. 
Le but renforcé est que chaque participant soit assis à la même table avec chaque autre participant au moins une fois, 
et au plus $f$ fois, où $f$ est un entier strictement positif. On cherche à minimiser $f$.

\q 
\begin{enumerate}
    \item Étudier les configurations où on peut prendre $f=1$.
    \item Existe-t-il toujours un planning qui vérifie la contrainte pour $f=2$ ?
\end{enumerate}

\q Proposer des plannings et des valeurs pour $f$ en reprenant les questions 2) à 5).

\q Proposer et étudier d'autres pistes.