\section{Rassemblements mathématiques}


Lors d'un tournoi de mathématiques, des jeunes mathématiciennes et mathématiciens se rencontrent. Perrine doit définir des \emph{plans de placements} pour les repas, c'est-à-dire définir chaque jour qui s'assiéra où. Elle souhaite que les participants se mélangent au maximum au moment des repas donc élaborer un plan de placement des participants sur plusieurs jours de sorte que chacun ait mangé au moins une fois avec tous les autres. Un tel plan est dit \textbf{idéal}.


Dans la salle à manger, il y a $t$ tables, chacune avec $p \geq 2$ places. Au total, $n=tp$ personnes participent à l'olympiade et prennent $r$ repas ensemble.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw (0,1.5) circle (0.6);
\draw (0,0) circle (0.6);
\draw (4,1.5) circle (0.6);
\draw (4,0) circle (0.6);
\draw (8,1.5) circle (0.6);
\draw (8,0) circle (0.6);
\draw (-1,1.5) node {A};
\draw (1,1.5) node {B};
\draw (-1,0) node {C};
\draw (1,0) node {D};
\draw (3,1.5) node {A};
\draw (5,1.5) node {C};
\draw (3,0) node {B};
\draw (5,0) node {D};
\draw (7,1.5) node {A};
\draw (9,1.5) node {D};
\draw (7,0) node {B};
\draw (9,0) node {C};
\draw[dashed] (2,-0.5) -- (2,2);
\draw[dashed] (6,-0.5) -- (6,2);
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de plan de placement idéal pour $p=2$, $t=2$, $r=3$ avec quatre participants A, B, C et D.}
\end{figure}


\q Perrine peut-elle toujours trouver un plan idéal si $r=\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ? Que se passe-t-il si on a~$r<\lceil(n-1)/(p-1)\rceil$ ?


\q Donner le $r$ minimal permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
    \item si $p=2$ et $t=3$,
    \item si $t=p=3$,
    \item si $t=3$ et $p=6$,
    \item si $t=2$ et $p$ quelconque.
\end{enumerate}

\q Estimer la valeur minimale de $r$ permettant de construire un plan idéal et décrire ce plan dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
    \item si $t=p$ (on pourra commencer par regarder les cas où $p$ est un nombre premier ou une puissance de nombre premier) ;
    \item si $t$ est une puissance de $p$.
\end{enumerate}

\q Proposer d'autres plans idéaux dans le cas général.

\medskip

Pour éviter que les participants ne se lassent, Perrine essaie d'uniformiser le plan : elle veut faire en sorte que deux participants quelconques ne se retrouvent pas plus de $f$ fois à la même table, où $f \geq 1$. Un tel plan est dit~\textbf{$f$-uniforme}.


\q Décrire les valeurs de $p$ et $t$ pour lesquelles on peut trouver un plan idéal $1$-uniforme.

\q Existe-t-il toujours un plan idéal $2$-uniforme ? Plus généralement, existe-t-il une valeur de $f$ telle qu'il existe un plan idéal $f$-uniforme quels que soient $p$ et $t$ ?

\q Estimer, en fonction de $p$ et $t$, la valeur minimale de $f$ pour laquelle il existe un plan idéal~$f$-uniforme. On pourra reprendre les cas particuliers proposés précédemment.

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.

