\section{Dépollution de la Seine}
Pour préparer les Jeux Olympiques de 2024, les organisateurs ont besoin de dépolluer des bassins alimentés par la Seine. Plusieurs équipes de biologistes proposent d'utiliser différentes bactéries capables de dépolluer l'eau

Une première équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est dangereuse pour l'homme et se comporte de la manière suivante:
\begin{itemize}
    \item Le matin du jour $T$, les bactéries occupent un volume $v(T)$;
    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée le soir rendent cette eau propre;
    \item La nuit, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v(T)\big)$ (où $f: [0,V] \to [0,V]$ est une fonction) dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin;
    \item Si une bactérie naît dans de l'eau propre, alors elle meurt tout de suite. Si elle naît dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile et dépolluera l'eau le lendemain.
%    \item la nuit les bactéries se reproduisent, si les bactéries occupent un volume $v(T)$ d'eau le soir, les bactéries filles occuperont un volume $v(T+1) = f(v(T))$ d'eau le matin  et les bactéries mères mourront en se reproduisant;
%    \item au matin, une partie des bactéries ont été déplacées par les courants (on ne sait pas forcément comment), celles qui arrivent dans de l'eau propre meurent instantanément.
 %   \item une bactérie meurt toujours au bout de $D$ jours, même si elle arrive dans de l'eau encore polluée.
\end{itemize}

Au départ, un bassin de $V = 2500\, m^3$ d'eau ne contient que de l'eau polluée et on y place des bactéries dans un volume $0 < v(0) < V$ d'eau.

Sauf dans les questions~\textbf{3.} et~\textbf{6.}, on suppose que $f(v) = K v$ si $0 \leqslant K v < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$.

\q  Pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v(0)$,

\begin{enumerate}
\item est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin ? Dans ce(s) cas là, combien de jours faut-il au minimum pour dépolluer entièrement le bassin ?
\item Dans ce(s) cas là, y a-t-il un nombre de jours pour lequel on est certain que l'eau sera entièrement dépolluée et, si oui, lequel ?
\item est-il possible que les bactéries ne dépolluent jamais entièrement le bassin ? Dans ces cas là, combien de jours faut-il au minimum pour que toutes les bactéries soient mortes.
\end{enumerate}

\q Les chercheurs s'aperçoivent que les bactéries se reproduisent $D$ fois avant de mourir, mais toujours une fois par nuit (et donc, survivent pendant $D$ jours). Elles se comportent comme les bactéries filles, sauf qu'elles mourront une nuit avant. Reprendre la question~\ref{depollutionQ1} dans ce cadre.
%jours mais dépolluent l'eau où elles se trouvent toujours en $1$ jour \red{(les bactéries sont brassées juste entre le moment où elles dépolluent et où elles devraient mourir et peuvent donc dépolluer en deux endroits différents.}
%\'Etudier l'évolution de la suite $U(T)$ dans ce cadre, en fonction de $v(0)$ et $K$.

\q \label{depollutionQ3} Lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement pour se reproduire. On s'aperçoit qu'alors $\displaystyle f(v) = 2v - \frac{v^2}{V}$. Reprendre la question~\textbf{1.} en fonction de la valeur de $v(0)$.

\medskip

On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée chaque jour. Le volume que les nouvelles bactéries occuperont le jour $T+1$ se trouve réparti dans les mêmes proportions que son état le jour $T$ : s'il y avait $a(T)V$ d'eau polluée sans bactéries, $b(T)V$ d'eau polluée avec bactéries et $c(T)V$ d'eau saine le jour $T$, avec $a(T)+b(T)+c(T) =1$, alors il y aura $a(T)  K v(T)$ bactérie qui s'installeront dans l'eau polluée (le reste de l'eau étant dépollué, les autres bactéries qui devraient occuper le reste du volume $\big(b(T)+c(T)\big) K v(T)$ meurent à la naissance).

\q En fonction de $K$ et $v(0)$, est-il possible que les bactéries dépolluent entièrement le bassin? Si oui, combien de jours faut-il pour le dépolluer entièrement? Si non, quelle proportion du bassin restera polluée?

\q L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, on fait rentrer dedans la quantité $w$ d'eau polluée de la Seine pour compenser l'eau qui s'est évaporée (dans les mêmes proportions que son état).
On note $U(T)$, avec $0 < U(T) < V$, la quantité d'eau dépolluée dans le bassin. En fonction de $K$ et $v(0)$,

\begin{enumerate}
\item la suite $U(T)$ admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?
\item si non, pour quelle(s) valeur(s) de $K$ et $v(0)$ est-elle périodique?
\item Décrire le plus généralement possible cette suite.
\end{enumerate}


\q \label{depollutionQ6} Dans cette question, il n'y a plus de brassage et que $D=1$. On suppose que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v(T)) = K_1 v(T)$ et s'il pleut, on a $f(v(T)) = K_2 v(T)$ avec $K_1>K_2>0$. 
\begin{enumerate}
\item Dans un premier temps, il fait beau exactement un jour sur deux, et il pleut exactement un jour sur deux. Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$, peut-on être sûr que le bassin sera dépollué ? Pour quelles valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ peut-on être sûr que le bassin ne sera pas entièrement dépollué ?
\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale, quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ?
\end{enumerate}

\q Proposer et explorer d'autres pistes de recherche.