\section{Dépollution de la Seine}
Pour les épreuves de natation des Jeux Olympiques de 2024, certains bassins, alimentés par la Seine, doivent être dépollués.

Une équipe de biologistes a trouvé une bactérie qui est capable de dépolluer l'eau. Le matin du jour où le nettoyage commence (qu'on appelle le jour $0$), on place des bactéries dans un bassin de volume $V=2500\, m^3$ qui ne contient que de l'eau polluée. Les bactéries occupent alors un volume $v_0\in ]0,V[$ (elles sont suffisamment peu nombreuses pour ne pas faire augmenter le volume d'eau contenu dans le bassin, elles n'ont pas de volume propre). On note $v_T$ le volume occupé par les bactéries le matin du jour $T$ (avec $T\in\mathbb{N}$). La population de bactéries se comporte de la manière suivante:
\begin{itemize}
    \item Les bactéries qui sont dans de l'eau polluée à midi mangent la pollution et, de cette façon, le volume d'eau qu'elles occupent devient de l'eau propre.
    \item Au coucher du soleil, les bactéries se reproduisent. Les bactéries mères meurent en se reproduisant. Les bactéries filles occupent un volume d'eau $f\big(v_T\big)$ dont on ne connaît pas la répartition dans le bassin, avec $f: [0,V] \to [0,V]$ une fonction décrite plus bas.
    \item Jusqu'à minuit, les bactéries peuvent se déplacer dans le bassin (précisé plus bas).
    \item À minuit, si une bactérie se retrouve dans de l'eau propre, alors elle meurt instantanément. Si elle se retrouve dans de l'eau polluée, alors la bactérie reste immobile (elle dépolluera l'eau où elle se trouve le midi du jour $T+1$).
\end{itemize}

Dans des conditions idéales, une bactérie produit en moyenne $K$ bactéries filles. En pratique, lorsqu'il y a trop de bactéries, elles se gênent mutuellement, de sorte que la moyenne est un peu plus basse. On prend donc $f(v) = K \left(v - \frac{v^2}{V}\right)$.

\q Quelles sont les valeurs possibles de $K$ qui garantissent que si $0\leq v_0 \leq V$, alors $0\leq v_T \leq V$ pour tout $T$ ?

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Désormais, pour simplifier, on prend $f(v) = Kv$ si $0 \leq Kv < V$ et $f(v) = V$ sinon, où $K > 0$ (autrement dit, on considère que le terme $-\frac{v^2}{V}$ est négligeable, sauf dans la dernière question).

\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau polluée, puis dans l'eau propre pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau polluée. Pour quelles valeurs de $K$ et de $v_0$ les bactéries nettoient-elles entièrement le bassin ? Dans ce cas-là, combien de jours faut-il pour dépolluer entièrement le bassin ?

\q On suppose dans cette question que les bactéries filles se déplacent en priorité dans l'eau propre, puis dans l'eau polluée pour celles qui n'ont plus de place dans l'eau propre (celles qui sont nées dans l'eau propre mourront donc à minuit sans se reproduire le lendemain midi).
\begin{enumerate}
\item Étudier l'évolution de la suite $v_T$. A-t-elle une limite? Si oui, laquelle?
\item Si $K\leq 2$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
\item Si $K= 4$, pour quelles valeurs de $v_0$ les bactéries dépolluent-elles entièrement le bassin?
\item Étudier les cas $K>4$ et $2<K<4$.
\item Dans les différents cas précédents, encadrer aussi précisément que possible le nombre de jours nécessaires pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.
\end{enumerate}

%\q Les chercheurs s'aperçoivent que les bactéries se reproduisent $D$ fois avant de mourir (où $D\geq 1$ est en entier), mais toujours une fois par nuit (et donc, survivent pendant $D$ jours). Les bactéries mères se comportent comme les bactéries filles, mais mourront une nuit avant. Reprendre la question~\ref{depollutionQ1} dans ce cadre, en fonction de la valeur de $D$.

%\medskip

%Dans la suite du problème, on suppose que $D=1$.

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On suppose maintenant que l'eau du bassin est brassée entre le coucher du soleil et minuit. A minuit, les bactéries se trouveront donc proportionnellement réparties dans l'eau propre et polluée : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$), alors les volumes de bactéries dans l'eau propre et polluée seront respectivement $f\big( v_T \big) a_T$ et $f\big( v_T \big) b_T$.

\q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K$ et $v_0$ pour que les bactéries dépolluent entièrement le bassin.

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L'eau du bassin est toujours brassée mais désormais, chaque jour, entre midi et le coucher du soleil, un volume $w\in[0,V]$ d'eau s'évapore. Elle est remplacé par la même quantité d'eau polluée au coucher du soleil avant le brassage. La proportion d'eau polluée dans l'eau évaporée est la même que celle dans le bassin : si l'eau propre et l'eau polluée occupent respectivement un volume $a_T V$ et $b_T V$ dans le bassin (où $a_T + b_T =1$) alors les volumes d'eau propre et polluée évaporés sont $a_Tw$ et $b_Tw$ respectivement.

\q On note $u_T$, avec $0 \leq u_T \leq V$, la quantité d'eau propre dans le bassin le matin du jour $T$. Trouver des conditions nécessaires/suffisantes sur $K$, $w$ et $v_0$ pour que :
\begin{enumerate}
\item la suite $(u_T)$ admette une limite, et estimer la limite en fonction de $K$, $w$ et $v_0$;
\item la suite $(u_T)$ soit périodique, et estimer la période en fonction de $K$, $w$ et $v_0$.
\end{enumerate}
\'Etudier le plus généralement possible la suite $u_T$.


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Pour cette question, on suppose que l'eau est brassée, qu'il n'y a plus d'évaporation mais que la reproduction des bactéries varie selon la météo. S'il fait beau, on a $f(v_T) = K_1 v_T$ et s'il pleut, on a $f(v_T) = K_2 v_T$ avec $K_1>K_2>0$ (avec toujours $f(v_T)=V$ si $K_1 v_T>V$ ou $K_2 v_T>V$). Il pleut exactement un jour sur deux : s'il pleut le jour $T$, alors il fera beau le jour $T+1$ et il pleuvra le jour $T+2$. Le jour $T=0$, il fait beau.

\q Trouver des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur $K_1$, $K_2$ et $v_0$ pour que le bassin soit entièrement dépollué.

%\begin{enumerate}
%\item Dans un premier temps, 
%\item Maintenant, il fait beau avec une probabilité $1/2$ et il pleut avec une probabilité $1/2$ (il peut dont pleuvoir ou faire beau plusieurs jours à la suite). Pour les valeurs de $K_1$, $K_2$ et $v(0)$ qui garantissent une dépollution totale: quel est en moyenne le nombre minimal de jours nécessaire pour dépolluer entièrement le bassin ? 
%\end{enumerate}

\q On revient pour finir dans le cas général exact où $\displaystyle f(v) = K\left(v - \frac{v^2}{V}\right)$. Décrire le comportement de la suite $v_T$ dans le contexte des questions \textbf{2.}, \textbf{3.}, \textbf{4.} selon la valeur de $K$. On pourra traiter les cas suivants: $0<K<1$; $K=1$; $K=3,5$ et $K=4$.

%\begin{enumerate}
%\item Quelles sont les valeurs possible de $K$ pour garantir que si $0<v(0)<V$, alors $0<v(T)<V$ pour tout $T$ ?
%\item On suppose que $K=1$. Reprendre la question~\textbf{1.} en fonction de la valeur de $v(0)$.
%\end{enumerate}

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.