\section{Création d'un jeu}

U. N. Lock cherche à créer un jeu de société. Ce jeu nécessite de numéroter des cartes avec certaines contraintes. Le jeu est constitué d'un ensemble de $N \ge 2$ cartes comportant chacune un symbole différent. Chaque paire de symboles (différents) est \textbf{autorisée} ou \textbf{interdite}. On appelle \textbf{configuration} l'ensemble des paires autorisées.

Lock veut permettre aux joueurs de savoir exactement quelles paires sont autorisées mais plutôt que de donner la liste exhaustive de paires autorisées, il procède de la façon suivante : il écrit sur chaque carte un numéro différent entre $1$ et $N$ et fournit aux joueurs un manuel avec~$2N$ pages dans lequel chaque page comporte le mot \og{}autorisée \fg{} ou \og{}interdite \fg{} tel que pour connaître le statut d'une paire, il suffit pour les joueurs d'additionner les numéros présents sur les deux cartes et de regarder la page du manuel correspondante. Il est possible que certains numéros de page ne soient pas atteignables comme somme de numéros de cartes. Dans ce cas, ce qui est écrit dessus n'importe pas.

Une configuration est \textbf{admissible} s'il est possible pour Lock d'effectuer la construction précédente, c'est-à-dire de numéroter les cartes et créer le manuel correspondant.

Un exemple avec $N=5$ est le suivant: le jeu comporte $5$ cartes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et les seules paires autorisées sont $(A,D)$ et $(C,D)$. Cette configuration est admissible, car Lock peut faire la construction suivante : il attribue aux cartes A, B, C, D, E les numéros 3, 5, 2, 1, 4 respectivement, et écrit \og{}autorisée \fg{} sur les pages $3$ et $4$ de son manuel et \og{}interdite \fg{} sur toutes les autres pages.

\q Pour quels $N$ n'importe quelle configuration est-elle admissible ?

\q Pour quels $N$ n'importe quelle configuration est-elle admissible parmi celles pour lesquelles :
\begin{enumerate}
\item chaque carte appartient à au moins une paire autorisée ?
\item chaque carte appartient à au plus une paire autorisée ?
\item chaque carte appartient à au plus deux paires autorisées ?
\end{enumerate}

\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si, au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~PGCD.

\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si, au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~PPCM (le manuel a alors $N^2$ pages).

\q Reprendre les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} si, au lieu de sommer les cartes, les joueurs calculent leur~produit (le manuel a alors $N^2$ pages).

\medskip

Pour pouvoir construire son jeu quoi qu'il arrive, Lock s'autorise à numéroter les cartes avec des nombres deux à deux distincts de $1$ à $M$ avec $M\geq N$. Une configuration pour laquelle Lock peut construire une telle numérotation et un manuel associé est dite dite~\textbf{$M$-admissible}.

\q Estimer, en fonction de $N$, le $M$ minimal pour lequel toute configuration est $M$-admissible. Donner des exemples de configurations pour lesquelles on peut calculer le $M$ minimal pour lequel elles sont $M$-admissibles. On s'intéressera aux différents modes de combinaison des cartes (somme, PGCD...).

\q Proposer et étudier d'autres pistes de recherche.