\section*{\'Eléments de réponse} 

\q (très facile) Ca revient à étudier un polynôme de degré $2$. Réponse: $K \in [0,4]$.

Pour la suite, notons plutôt $x_T = v_T/V$ la proportion de bactéries dans le bassin, de sorte que le nombre de filles sera $K x_T$ et $u_T = \sum_{\ell = 0}^{T-1} x_\ell$ la proportion d'eau dépolluée. On a $K x_T - u_T \leqslant x_{T+1} \leqslant K x_T$.

\q (facile) Si $K=1$, ça donne $x_T = x_0$ et $u_T = T x_0$ (jusqu'à $u_T=1$ auquel cas $x_T=0$).

Si $K \neq 1$, alors $x_T = K^T x_0$ et $u_T = x_0 \frac{1 - K^{T}}{1-K}$. Il faut distinguer $K>1$ et $K<1$ dans la preuve mais dans tous les cas, dépollution totale possible si
\[ K \geq 1 \qquad \text{ ou } \qquad K< 1 \text{ et } v_0 > (1-K) V\]
Dans les cas de dépollution totale, le nombre de jour nécessaire pour dépolluer est
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\left\lceil \frac{V}{v_0}\right\rceil &\text{ si } K = 1\\
\left\lceil \frac{\ln\left( 1 - \frac{(1-K)V}{v_0}\right)}{\ln K} \right\rceil &\text{ si } K \neq 1\\
\end{array}\right.
\]

\q (facile) On peut noter que $x_{T+2} = \min(1, \max(0, K(x_{T+1} - x_{T}))$. Il suffit de s'intéresser à $x_{T+2} = K( x_{T+1} - x_T)$.

(facile) On a deux valeurs propres complexes conjuguées pour $K \in ]0,4[$ qui sont $\frac{K \pm i \sqrt{K(4-K)}}{2}$, une valeur propre réelle double qui vaut $2$ (resp. $0$) pour $K = 4$ (resp. $K=0$) et deux valeurs propres réelles qui sont $\frac{K \pm \sqrt{K(K-4)}}{2}$.

a) (facile) Si la suite décroît au rang $T$, alors elle est nulle à partir du rang $T+1$. La suite $v_T$ est croissante jusqu'à un certain rang, puis décroît exactement une ou deux fois puis constante également à zéro. Comme c'est le terme général d'une série majorée de termes positif, la suite $v_T$ converge vers $0$.

b) (très facile) Pour $K \leqslant 1$, la condition de dépollution est $v_0 = V$ Pour $K \leqslant 2$, on a $v_2 = 0$. Condition de dépollution: $u_2 = v_0 + v_1 = K v_0 \geqslant V$.
[à vérifier, sinon ,c'est peut-être $K v_0 > V$ et $K(K-1) v_0 > V$ les bonnes conditions, j'ai un doute]

c) (moyen) \'Etude classique d'une suite à récurrence linéaire avec valeur propre double.

d) (moyen) $K > 4$: on peut se ramener au cas $K=4$ par minoration.

(difficile/ouvert) 

e) Notons $T_A$ une borne pour le temps d'arrêt.

(très facile) $T_A = 1$ si $K \leqslant 1$; $T_A = 2$ si $K \leqslant 2$; 

(moyen/difficile) On peut montrer mieux: pour $0 < K < 4$, le temps d'arrêt $T_A$ qui dépend de $K$ pour lequel $v_T$ est nul indépendamment de la valeur de $v_0$. En revanche, pour $K \geq v_0$, le temps d'annulation de $v_T$ existe mais dépend à la fois de $K$ et de $v_0$ (on ne peut plus donner de borne en $K$ uniquement).

(ouvert) formule exacte pour le temps d'arrêt $T_A$ (y compris pour $2 < K < 4)$

\q (ouvert) Il y a des choses qui sont faisables. Le problème est non linéaire.

\q (ouvert) Génériquement $u_T$ admet une limite sauf dans les cas périodiques si on a ajusté très précisément les valeurs de $K$, $w$ et $v_0$, je dois y réfléchir.

\q (ouvert) Généralisation possible à des phénomènes probabilistes

\q (ouvert) $K<1$: extinction;  $K=1$: convergence vers l'état d'équilibre $\frac{K-1}{K}$ (vrai pour tout $K\in[1,3]$; $K=3,5$: périodique sauf si on part de l'état d'équilibre; $K=4$: si $v(0)=\sin(x)^2$ alors $v(T)=\sin(2^Tx)$, en utilisant $\sin^2(2x)=4\sin^2(x)(1-\sin^2(x))$ - comportement chaotique visible sur des simulations.

\q
