\section{Ping--pong}

Soit $n \geq 2$ un entier, fixé dans tout le problème. Dans un club de ping-pong, il y a $2n$ joueuses numérotées de $1$ à $2n$. On suppose que les joueuses sont classées de la plus forte à la moins forte, de sorte que quand les joueuses $i$ et $j$ s'affrontent, si $i<j$, alors la joueuse $i$ gagne toujours. Les joueuses jouent sur $n$ tables numérotées de $1$ à $n$. On appellera \emph{configuration} une manière de répartir les $2n$ joueuses sur les $n$ tables de telle sorte qu'il y a exactement $2$ joueuses à chaque table.

Au départ, les joueuses sont dans une certaines configuration initiale, puis elles jouent par tours successifs. Un tour se déroule de la manière suivante : à chaque table, les deux joueuses présentes à cette table s'affrontent. Puis pour tout $j$, la gagnante de la table $j$ monte à la table $j-1$ (sauf si $j=1$, auquel cas elle reste à la table $1$), et la perdante de la table $j$ descend à la table $j+1$ (sauf si $j=n$, auquel cas elle reste à la table $n$).

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
\draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
\draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
\draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
\draw(0.5,0.3)node{$3$};
\draw(1.5,0.3)node{$6$};
\draw(0.5,1.3)node{$1$};
\draw(1.5,1.3)node{$4$};
\draw(0.5,2.3)node{$5$};
\draw(1.5,2.3)node{$8$};
\draw(0.5,3.3)node{$2$};
\draw(1.5,3.3)node{$7$};
\draw(1,-1)node{\text{Tour $1$}};

        \begin{scope}[shift={(3,0)}]
            \draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
            \draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
            \draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
            \draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
            \draw(0.5,0.3)node{$4$};
            \draw(1.5,0.3)node{$6$};
            \draw(0.5,1.3)node{$3$};
            \draw(1.5,1.3)node{$8$};
            \draw(0.5,2.3)node{$1$};
            \draw(1.5,2.3)node{$7$};
            \draw(0.5,3.3)node{$2$};
            \draw(1.5,3.3)node{$5$};
            \draw(1,-1)node{\text{Tour $2$}};
        \end{scope}

        \begin{scope}[shift={(6,0)}]
        \draw(0,0)--(2,0)--(2,0.6)--(0,0.6)--(0,0);
        \draw(0,1)--(2,1)--(2,1.6)--(0,1.6)--(0,1);
        \draw(0,2)--(2,2)--(2,2.6)--(0,2.6)--(0,2);
        \draw(0,3)--(2,3)--(2,3.6)--(0,3.6)--(0,3);
        \draw(0.5,0.3)node{$6$};
        \draw(1.5,0.3)node{$8$};
        \draw(0.5,1.3)node{$4$};
        \draw(1.5,1.3)node{$7$};
        \draw(0.5,2.3)node{$3$};
        \draw(1.5,2.3)node{$5$};
        \draw(0.5,3.3)node{$1$};
        \draw(1.5,3.3)node{$2$};
        \draw(1,-1)node{\text{Tour $3$}};
        \end{scope}

    \end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Un exemple avec $n=4$. Notons que la configuration atteinte au tour $3$ est stable.}

\end{figure}

Une configuration est dite \emph{stable} si après deux tours, les joueuses se retrouvent dans la même configuration.

\q{1}
On se fixe $1 \leq i \leq 2n$. Quelle est la table la plus haute à laquelle peut se trouver la joueuse $i$ dans une configuration stable ? Et la plus basse ?
%Table la plus haute : $1$ si $i \leq n+1$, et $i-n$ sinon. Table la plus basse : $i$ si $i \leq n$, et $n$ sinon.

\q{2}
Estimer le nombre de configurations stables en fonction de $n$.
%Il y en a $\binom{2n-2}{n-1}$ : à part les joueuses $1$ et $2n$, toutes les joueuses oscillent entre une table paire et une table impaire. L'ensemble des joueuses qui commencent à une table impaire détermine la configuration stable.

\q{3}
Montrer qu'après un nombre de tours suffisant, les joueuses atteindront forcément une configuration stable.
%Montrer par récurrence sur $j$ que la table $j$ finit par se stabiliser.

\q{4}
Donner un encadrement en fonction de $n$ du plus grand nombre possible de tours qui peuvent être nécessaires pour atteindre une configuration stable.
%L'argument brutal donne $\frac{n(n-1)}{2}$. On doit pouvoir faire autour de $n$, mais ça a pas l'air évident.

\q{5}
Soient $1 \leq i \leq 2n$ et $1 \leq j \leq n$. On sait que la joueuse $i$ doit commencer à la table $j$. En supposant qu'elle puisse choisir le reste de la configuration initiale comme cela l'arrange, quelle est la plus haute table qu'elle peut espérer atteindre une fois ?
%En gros, elle peut atteindre la table 1 ssi $i+j \leq 2n$, et sinon la table $i+j-2n$ (à chaque fois, à une constante additive près qui doit être calculable et dépend peut-être de la parité).

\q{6}
On se donne $1 \leq j < k \leq n$. En fonction de $j$ et $k$, est-il possible qu'une joueuse commence à la dernière table, atteigne la table $j$ puis se stabilise plus tard à la table $k$ ?
%À réflechir.

\q{7}
Les joueuses tiennent un carnet où elle notent leurs résultats sous la forme suivante : quand elles remportent un match, elles écrivent un $V$, et quand elles perdent, elles écrivent un $D$. Par exemple, si une joueuse remporte ses deux premiers matches puis perd les trois suivants, elle écrira le mot $VVDDD$. On dit qu'un mot formé de lettres $D$ et $V$ est \emph{inscriptible} si il existe une configuration initiale à $2n$ joueuses dans laquelle une des joueuses écrira ce mot. Par exemple, le mot $VV...V$ est toujours inscriptible car il sera inscrit par la joueuse $1$.
\begin{itemize}
\item Donner des exemples de mots inscriptibles et de mots non inscriptibles.
\item En fonction de $n$, estimer le plus grand $\ell$ pour lequel tous les mots de longueur $\ell$ sont inscriptibles.
\item En fonction de $n$ et $\ell$, estimer le nombre de mots inscriptibles de longueur $\ell$.
\end{itemize}
%Exemples : si une joueuse écrit $n$ fois de suite $V$, alors elle est la meilleure, donc son mot ne peut contenir que des $V$. En particulier, il existe des mots non inscriptibles pour $\ell=n+1$. Je pense que tous les mots de longueur $n$ sont inscriptibles, mais ça a l'air dur (j'y arrive pour $n/2$).

\q{8}
Parmi toutes les configurations initiales, estimer la proportion des configurations qui font que la joueuse $3$ n'atteindra jamais la table $1$. Essayer de généraliser.
%À peu près $1/6$ : il faut que la joueuse $3$ démarre derrière les joueuses 1 et 2, et que les choses se passent mal au niveau parité. Le but est de leur faire faire des probas sans le dire. En remplaçant $3$ par $4$, la proportion vaut $5/16$.